代数学II 要約 No.6

今日のテーマ:

定義 6.1   体 $K$ に対して

$$K^\times=\{ x \in K; x$$    は $$K$$ で可逆$$\}(=K\setminus \{0\})$$

は群になる。これを $K$ の乗法群と呼ぶ。 $K^\times$ の元 $x$ にたいし、$x$ の($K^\times$ の元としての群論での意味の) 位数を $x$ の乗法的位数、あるいは単に位数と呼ぶ。 つまり、

$$(x$$    の位数$$)=\min\{ n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; n>0, x^n=1\}.$$

今回は有限体に対してその乗法群の構造を調べ、 さらに有限体の存在について述べる。

補題 6.1   体 $K$ の元の数が $q$ であるとすると、 $K$ の任意の元は

$$X^q-X$$

の根である。

補題 6.2   体 $k$ の上の任意の(既約とは限らない)多項式 $F(X)$ に対して、 ある $k$ の有限次拡大体 $L$ で、$F(X)$ を $L$ 上で考えれば一次式の 積に分解するようなものが存在する。

定理 6.1   素数 $p$ と正の整数 $n$ にたいして、 元の数が $q=p^n$ の体は存在する。 もっと詳しくいうと、 $X^q-X \in F_p[X]$ が一次式の積に分解するような体 $L$ (前の補題によって存在する) をとり、$L$ のなかの $X^q-X$ の根の全体を $K$ とおくと、$K$ は体で、その元の数は $q$ になる。

補題 6.3   有限体 $K$ に対して、

$$a_n= \char93 \{ x; x$$$$\text {の位数は } n \}$$

と定義すると、

1. $a_n\neq 0$ であるのは $n$ が $q-1$ の約数の時に限る。
2. $a_n\leq \varphi(n) =(1$    から $n$ までの整数で, $n$    と互いに素なものの数$)$

定理 6.2   有限体 $K$ にたいして、位数が $\char93 (K)-1$ であるような $K$ の元 $x$ が存在する。 言い換えると、$K$ の乗法群 $K^\times$ は巡回群である。

問題 6.1   ${\mathbb{F}}_{23}^\times$ の生成元(位数が $22$ の元)を一つ求めなさい。 (もちろん理由も書くこと)

諸君のレポートは理学部二号棟５階東端の数学閲覧室の前に ぶら下がっている袋にあるので各自とっていくこと