代数学 II 要約 NO.7

今日のテーマ:

有限体の乗法群の構造と、有限体の存在 II 前回、いくつかの定理と補題の証明が残ってしまっていた。

定理 7.1 (定理 6.1 と同じ). 素数 p と正の整数 n にたいして、元の数が q = p^{n} の体は存在する。もっと詳しくいうと、 X^{q} − X ∈ F_{p}[X] が一次式の積に分解するような体 L (前の補題によって存在する) をとり、 L のなかの X^{q} − X の根の全体を K とおくと、 K は体で、その元の数は q になる。

この定理のうち、 K が体で、その元の数が q 以下であることは前回証明した。 K の元の数がちょうど q 個であることを示すには、多項式の微分の概念を知っておいた方が便利である。補題 7.1. 体 k 上の多項式 p(X) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} に対して、その微分を

p′(X) = \frac{d}{dX} p(X) = ∑_{k=0}^{n} ka_{k}X^{k−1}

で定義する。この時、 (1) 微分は p の係数体をどう選ぶかに関係しない。

(2) 微分は k-線型である。

(3) (pq)′ = p′q + pq′. 補題 7.2 (補題 6.2 とおなじ). 有限体 K に対して、

a_{n} = #{x; x の位数はn}

と定義すると、 (1) a_{n} ≠ 0 であるのは n が q − 1 の約数の時に限る。

(2) a_{n} ≤ φ(n) = (1 から n までの整数で,n と互いに素なものの数) 定理 7.2 (定理 6.2 とおなじ). 有限体 K にたいして、位数が #(K) − 1 であるような K の元 x が存在する。言い換えると、 K の乗法群 K^{×} は巡回群である。系 7.1. 素数 p と正の整数 n に対して、 𝔽_{p} 上の既約多項式 f(X) で、その次数が n のものが存在する。

注意：次の問題は (いつもの例に反して)\underline{難易度の順に並んでいない}. 解きやすいものをとくこと。また、これらは本質的に違う問題というわけではないので、今回は\underline{一問のみ}を選んで解くこと。問題 7.1. 元の数が 16 の体 K を 𝔽_{2}[X]/f(X)𝔽_{2}(X) の形でつくり、その K に対して K^{×} の生成元を一つ求めなさい。問題 7.2. 元の数が 27 の体 K を 𝔽_{3}[X]/f(X)𝔽_{3}(X) の形でつくり、その K に対して K^{×} の生成元を一つ求めなさい。問題 7.3. 元の数が 25 の体 K を 𝔽_{5}[X]/f(X)𝔽_{5}(X) の形でつくり、その K に対して K^{×} の生成元を一つ求めなさい。