代数学II 要約 No.7

今日のテーマ:

前回、いくつかの定理と補題の証明が残ってしまっていた。

定理 7.1 (定理6.1と同じ)   素数 $p$ と正の整数 $n$ にたいして、 元の数が $q=p^n$ の体は存在する。 もっと詳しくいうと、 $X^q-X \in F_p[X]$ が一次式の積に分解するような体 $L$ (前の補題によって存在する) をとり、$L$ のなかの $X^q-X$ の根の全体を $K$ とおくと、$K$ は体で、その元の数は $q$ になる。

この定理のうち、 $K$ が体で、その元の数が $q$ 以下であることは前回 証明した。$K$ の元の数がちょうど $q$ 個であることを示すには、 多項式の微分の概念を知っておいた方が便利である。

補題 7.1   体 $k$ 上の多項式 $p(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ に対して、 その微分を

$$p'(X)=\frac{d}{dX}p(X)=\sum_{k=0}^n k a_k X^{k-1}$$

で定義する。この時、

1. 微分は $p$ の係数体をどう選ぶかに関係しない。
2. 微分は $k$-線型である。
3. $(pq)'=p'q+pq'$.

補題 7.2 (補題6.2とおなじ)   有限体 $K$ に対して、

$$a_n= \char93 \{ x; x$$$$\text {の位数は } n \}$$

と定義すると、

1. $a_n\neq 0$ であるのは $n$ が $q-1$ の約数の時に限る。
2. $a_n\leq \varphi(n) =(1$    から $n$ までの整数で, $n$    と互いに素なものの数$)$

定理 7.2 (定理6.2とおなじ)   有限体 $K$ にたいして、位数が $\char93 (K)-1$ であるような $K$ の元 $x$ が存在する。 言い換えると、$K$ の乗法群 $K^\times$ は巡回群である。

系 7.1   素数 $p$ と正の整数 $n$ に対して、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の既約多項式 $f(X)$で、 その次数が $n$ のものが存在する。

注意：次の問題は(いつもの例に反して)難易度の順に並んでいない. 解きやすいものをとくこと。 また、これらは本質的に違う問題というわけではないので、今回は 一問のみを選んで解くこと。

問題 7.1   元の数が $16$ の体 $K$ を ${\mathbb{F}}_2[X]/f(X){\mathbb{F}}_2(X)$ の形でつくり、 その $K$ に対して $K^\times$ の生成元を一つ求めなさい。

問題 7.2   元の数が $27$ の体 $K$ を ${\mathbb{F}}_3[X]/f(X){\mathbb{F}}_3(X)$ の形でつくり、 その $K$ に対して $K^\times$ の生成元を一つ求めなさい。

問題 7.3   元の数が $25$ の体 $K$ を ${\mathbb{F}}_5[X]/f(X){\mathbb{F}}_5(X)$ の形でつくり、 その $K$ に対して $K^\times$ の生成元を一つ求めなさい。