代数学 II 要約 NO.8

今日のテーマ:

準同型、同型、有限体は元の数で完全に決まること前回、次の系の証明 (と言う程難しくはなく、むしろ説明) が残って

しまっていた。系 8.1. 素数 p と正の整数 n に対して、 𝔽_{p} 上の既約多項式 f(X) で、その次数が n のものが存在する。

これをもう少し詳しく言うと、次のことが成り立つ。定理 8.1. 素数 p と正の整数 n に対して、元の個数が q = p^{n} であるような有限体 K が存在する (定理 6.2)。この K にたいして、次のことが成り立つ。

(1) K^{×} の (群としての) 生成元 a の 𝔽_{p} 上の最小多項式の次数は n である。

(2) 𝔽_{p} 上の n 次の既約多項式は必ず K で一次式の積に分解される。このことを示すために、最小多項式、環の準同型等の復習をしてお

こう。定義 8.1 (環の準同型の定義). 環の間の写像 ϕ : R → S が準同型であるとは、次の条件が成り立つときにいう。

(1) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) が任意の x, y についてなりたつ。

(2) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) が任意の x, y についてなりたつ。

(3) ϕ(1_{R}) = ϕ(1_{S}) がなりたつ

単射準同形写像のことを中への同型、全単射準同形写像のことを上への同型または単に同型とよぶ。定理 8.2 (環の準同型定理). 環 R から環 S への準同型 ϕ に対して、

(1) ϕ の核 Ker(ϕ) は R のイデアルである。

(2) ϕ の像 Image(ϕ) は S の部分環である

(3) ϕ は R/ Ker(ϕ) と Image(ϕ) との間の同型を誘導する。補題 8.1. 体 k の拡大体 K は k 上一つの元 α で生成されているとする。このとき、

(1) φ : k[X] → K を φ(p(X)) = p(α) できめると、 φ は全射環準同型である。

(2) φ の核は (i) {0} であるか、または (ii) ある多項式 m(X) ∈ k[X] があって、 m(X)k[X] の形をしている。

(3) 上で、 (ii) の時には、 m(X) は f(α) = 0 を満たす k 上の多項式のうち、次数が最小のものである。

(4) 上で、 (i) の場合には [K : k] = ∞, (ii) の場合には [K : k] =

deg(m) である。定義 8.2. 上の (ii) の場合に、 m(X) のことを α の k 上の最小多項式とよぶ。 (最小多項式は定数倍の違いの分だけ不定性があるが、とくに断らない限りはモニック (最高次の係数が 1) のものを採用して、その不定性を取り除くことにする。 )

命題 8.3. 体 k の拡大体 K, L があって、 K のほうは k 上一つの元 α で生成される k の有限次拡大体であるとする。さらに、 α の k 上の最小多項式を m とおく。このとき、もし、 L の元 β で、 m(β) = 0 を満たすものがあれば、 K から L への中への同型写像 φ で、 φ(α) = β をみたすものが存在する。定理 8.4. 体 K_{1}, K_{2} の元の数がともに有限で、同じ q であるなら、 K_{1} と K_{2} とは同型である (すなわち、 K_{1} から K_{2} への上への同型写像 φ が存在する。定義 8.3. 元の数が q の体 (上の定理により同型を除いて一つしかない) のことを 𝔽_{q} とかく。

K^{×} の構造を知ると、次のような問題も片付けられる。 (とは言ってもこれは Fermat の定理 (あるいは群論の Lagrange の定理) の範疇である。 )

問題 2.3 一般に、素数 p に対して、 10 進法で書いた整数を p で割った余りを「一定の桁数毎に区切って」求める方法はいつでも存在するだろうか？ (但しもちろん p = 2 と p = 5 の場合は例外とする。 )

時間が余ったら、次の問題も解説する予定。

問題 4.2 K = 𝔽_{37}[X]/(X^{3} − X + 2)𝔽_{37}[X] での X のクラスを ξ と書くとき、 K での 12ξ^{2} + 5ξ + 1 の逆元を求めなさい。 (なお、この K は実は体であるのだが、そこまでは示さなくてもよい。 )

(なお、問題 4.1 では、このとき、 a + b, a − b, ab, b^{−1} をそれぞれ ξ の\underline{2 次式}であらわしなさい。となっていましたが、これは\underline{2 次以下の式} のつもりでした。 (ウエブ版では訂正済) 失礼を致しました。お詫びして訂正いたします。 ) 問題 8.1. 次のような (1)-(3) の例を ((4) が解きやすいように) 作り,(4) を求めなさい。

(1) 素数 p > 2

(2) 正の整数 n > 2

(3) 𝔽_{p} 上の相異なる n 次既約多項式 f, g ∈ 𝔽_{p}[X]

(4) 𝔽_{p}[X]/f(X)𝔽_{p}[X] での g の一次式への分解注意:上の問題の書き方(とくに4番)は不適切であった。正しくは、 (誤

解の恐れを無くすため一度別の文字 Y を用いて) K = 𝔽_{p}[Y]/f(Y)F_{p}[Y] などとおき、 g(X) をこの K 上の多項式 (K[X] の元) と改めてみなした時の g の分解という意味であった。問題 8.2. 任意の有限体 K に対して、 K 上の n 次の既約多項式が存在することを示しなさい。