代数学II 要約 No.8

今日のテーマ:

前回、次の系の証明(と言う程難しくはなく、むしろ説明)が残ってしまっていた。

系 8.1   素数 $p$ と正の整数 $n$ に対して、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の既約多項式 $f(X)$で、 その次数が $n$ のものが存在する。

これをもう少し詳しく言うと、次のことが成り立つ。

定理 8.1   素数 $p$ と正の整数 $n$ に対して、 元の個数が $q=p^n$ であるような有限体 $K$ が存在する(定理6.2)。 この $K$ にたいして、次のことが成り立つ。

1. $K^\times$ の(群としての)生成元 $a$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の最小多項式の 次数は $n$ である。
2. ${\mathbb{F}}_p$ 上の $n$ 次の既約多項式は必ず $K$ で一次式の積に分解される。

このことを示すために、最小多項式、環の準同型等の復習をしておこう。

定義 8.1 (環の準同型の定義)   環の間の写像 $\phi:R\to S$ が準同型であるとは、 次の条件が成り立つときにいう。

1. $\phi(x+y)=\phi (x)+\phi(y)$ が任意の $x,y$ についてなりたつ。
2. $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ が任意の $x,y$ についてなりたつ。
3. $\phi(1_R)=\phi(1_S)$ がなりたつ

単射準同形写像のことを中への同型、全単射準同形写像のことを 上への同型または単に同型とよぶ。

定理 8.2 (環の準同型定理)   環 $R$ から環 $S$ への準同型 $\phi$ に対して、

1. $\phi$ の核 $\operatorname{Ker}(\phi)$ は $R$ のイデアルである。
2. $\phi$ の像 $\operatorname{Image}(\phi)$ は $S$ の部分環である
3. $\phi$ は $R/\operatorname{Ker}(\phi)$ と $\operatorname{Image}(\phi)$ との間の 同型を誘導する。

補題 8.1   体 $k$ の拡大体 $K$ は $k$ 上一つの元 $\alpha$ で 生成されているとする。このとき、

1. $\varphi:k[X]\to K$ を $\varphi(p(X))=p(\alpha)$ できめると、 $\varphi$ は全射環準同型である。
2. $\varphi$ の核は(i) $\{0\}$ であるか、または (ii)ある多項式 $m(X)\in k[X]$ があって、 $m(X)k[X]$ の形をしている。
3. 上で、(ii)の時には、$m(X)$ は $f(\alpha)=0$ を満たす $k$ 上の 多項式のうち、次数が最小のものである。
4. 上で、(i)の場合には $[K:k]=\infty$, (ii)の場合には $[K:k]=\deg(m)$ である。

定義 8.2   上の (ii)の場合に、$m(X)$ のことを $\alpha$ の $k$ 上の最小多項式 とよぶ。(最小多項式は定数倍の違いの分だけ不定性があるが、 とくに断らない限りはモニック(最高次の係数が $1$)のものを採用して、 その不定性を取り除くことにする。)

命題 8.3   体 $k$ の拡大体 $K,L$ があって、$K$ のほうは $k$ 上一つの元 $\alpha$ で生成される $k$ の有限次拡大体であるとする。 さらに、$\alpha$ の $k$ 上の最小多項式を $m$ とおく。 このとき、もし、$L$ の元 $\beta$ で、 $m(\beta)=0$ を満たすものがあれば、 $K$ から $L$ への中への同型写像 $\varphi$ で、 $\varphi(\alpha)=\beta$ をみたすものが存在する。

定理 8.4   体 $K_1$, $K_2$ の元の数がともに有限で、同じ $q$ であるなら、 $K_1$ と $K_2$ とは同型である(すなわち、$K_1$ から $K_2$ への上への 同型写像 $\varphi$ が存在する。

定義 8.3   元の数が $q$ の体 (上の定理により同型を除いて一つしかない) のことを ${\mathbb{F}}_q$ とかく。

$K^\times$ の構造を知ると、次のような問題も片付けられる。 (とは言ってもこれは Fermat の定理(あるいは群論の Lagrange の定理) の範疇である。)

問題 2.3 一般に、素数 $p$ に対して、 10進法で書いた整数を $p$ で割っ た余りを「一定の桁数毎に区切って」 求める方法はいつでも存在するだろう か？ (但しもちろん $p= 2$ と $p=5$ の場合は例外とする。)

時間が余ったら、次の問題も解説する予定。

問題 4.2 $K={\Bbb F}_{37}[X]/(X^3-X+2){\Bbb F}_{37}[X]$ での $X$ のクラスを $\xi$ と書くとき、 $K$ での $12 \xi^2+5\xi+1$ の逆元を求 めなさい。 (なお、この $K$ は実は体であるのだが、そこまでは示さなくて もよい。)

(なお、問題 4.1 では、 このとき、 $a+b,a-b,ab, b^{-1}$ をそれぞれ $\xi$ の2次式 であらわしなさい。となっていましたが、これは2次以下の式の つもりでした。(ウエブ版では訂正済)失礼を致しました。お詫びして訂正いたします。)

問題 8.1   次のような(1)-(3)の例を((4)が解きやすいように)作り,(4)を 求めなさい。

1. 素数 $p>2$
2. 正の整数 $n>2$
3. ${\mathbb{F}}_p$ 上の相異なる $n$ 次既約多項式 $f,g\in {\mathbb{F}}_p[X]$
4. ${\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ での $g$ の一次式への分解

問題 8.2   任意の有限体 $K$ に対して、$K$ 上の $n$ 次の既約多項式が 存在することを示しなさい。