代数学II 要約 No.9

今日のテーマ:

前回は復習止まりで、次の定理や命題を残してしまったので、今回はその証明をする。

定理 9.1 (定理8.1と同じ)   素数 $p$ と正の整数 $n$ に対して、 元の個数が $q=p^n$ であるような有限体 $K$ が存在する(定理6.2)。 この $K$ にたいして、次のことが成り立つ。

1. $K^\times$ の(群としての)生成元 $a$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の最小多項式の 次数は $n$ である。
2. ${\mathbb{F}}_p$ 上の $n$ 次の既約多項式は必ず $K$ で一次式の積に分解される。

命題 9.2 (命題8.3と同じ)   体 $k$ の拡大体 $K,L$ があって、$K$ のほうは $k$ 上一つの元 $\alpha$ で生成される $k$ の有限次拡大体であるとする。 さらに、$\alpha$ の $k$ 上の最小多項式を $m$ とおく。 このとき、もし、$L$ の元 $\beta$ で、 $m(\beta)=0$ を満たすものがあれば、 $K$ から $L$ への中への同型写像 $\varphi$ で、 $\varphi(\alpha)=\beta$ をみたすものが存在する。

定理 9.3 (定理8.4と同じ)   体 $K_1$, $K_2$ の元の数がともに有限で、同じ $q$ であるなら、 $K_1$ と $K_2$ とは同型である(すなわち、$K_1$ から $K_2$ への上への 同型写像 $\varphi$ が存在する。

$K^\times$ の構造を知ると、次のような問題も片付けられる。 (とは言ってもこれは Fermat の定理(あるいは群論の Lagrange の定理) の範疇である。)

問題 2.3 一般に、素数 $p$ に対して、 10進法で書いた整数を $p$ で割っ た余りを「一定の桁数毎に区切って」 求める方法はいつでも存在するだろう か？ (但しもちろん $p= 2$ と $p=5$ の場合は例外とする。)

問題 4.2 $K={\Bbb F}_{37}[X]/(X^3-X+2){\Bbb F}_{37}[X]$ での $X$ のクラスを $\xi$ と書くとき、 $K$ での $12 \xi^2+5\xi+1$ の逆元を求 めなさい。 (なお、この $K$ は実は体であるのだが、そこまでは示さなくて もよい。)

(解説) 諸君のレポートを見ると、 ${\Bbb F}_{37}[X]/(X^3-X+2){\Bbb F}_{37}[X]$ のようなものの扱いについて 理解できている人と、できてない人の差がはっきり分かれてきているのがわかる。

${\mathbb{F}}_{37}$ についてはわかっているようだし、 ${\mathbb{F}}_{37}[X]$ も大丈夫だろう。 あとは それを $(X^3-X+2){\mathbb{F}}_{37}[X]$ で割った剰余環の理解が欠けているのだろう。

問題の $K$ で、$X$ のクラスを($X$ とそのまま表記しても良いし、 $\overline{X}$ あるいは $[X]$ のような記号でもよいのだが、ここでは 字画を減らすために) $\xi$ と書くと、$K$ とは、 ${\mathbb{F}}_{37}$ に、 $\xi^3-\xi+2=0$ という関係式をもった元 $\xi$ を 付け加えてできる環である。 $\xi^3-\xi+2=0$ という関係式から、

$3(\xi^3-\xi+2)=0$, $\xi(\xi^3-\xi+2)=0$, $(\xi^2+30\xi+23)(\xi^3-\xi+2)=0$ 等々の関係式が得られるはずである。また、

$\xi^3=\xi-2$, $\xi^4=\xi^2-2\xi$

などの関係式も得られる。このような環をそもそも作れるかどうか、ということも 大事なことなのだが、これが多項式の全体 ${\mathbb{F}}_{37}[X]$ を $X^3-X+2$ の 倍数で類別するという例のやり方で正当化されているのだ。 つまり、関係式 $\xi^3-\xi+2=0$ をもつような $\xi$ を ${\mathbb{F}}_{37}$ に 付け加えるというだけでは、(全く何の知識もない初歩の段階では) それがうまくできるかどうかがわからないが、 ${\mathbb{F}}_{37}$-係数の多項式の全体 ${\mathbb{F}}_{37}[X]$ を $(X^3-X+2)$ の倍数を 法としてクラス分けする

$$f \sim g \ {\Leftrightarrow}\ f-g \in (X^3-X+2){\mathbb{F}}_{37}[X]$$

ということはできるはずであるし、そのクラス分けをしたクラスの全体 $K={\mathbb{F}}_{37}[X]/(X^3-X+2){\mathbb{F}}_{37}[X]$ が環の構造をもつこと、さらには $X$ の $K$ でのクラスが上述の関係式を満たすことも 確かめられるというわけである。

ちょうど、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ では $9=0$ が成り立つことや、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ では $11=0$ が 成り立つことと同様である。

問題 9.1   $p=5$ とする。 ${\mathbb{F}}_p$ 上のモニックな4次既約多項式 $f$ の例を挙げ、 $f$ の一つの根を $\alpha$ とした時、$f$ の他の根を $\alpha$ であらわしなさい。 (つまり、$f$ を ${\mathbb{F}}_p[\alpha]$ 上で一次式の積に分解しなさい。)

上の問題は少し難しすぎたかも知れないので、 次の問題を追加しておく。こちらは少し簡単である。

問題 9.2   上の問題で $p=3$ のときはどうか。

両方の問題とも、$f$ の既約性まで論じることが望ましい。