代数学 II 要約 NO.10

今日のテーマ:

方程式系の合同ゼータ関数以下 p は素数であるとし、 q = p^{s} (s は正の整数) であるとする。方程式系n 個の変数 X_{1}, …, X_{n} に関する 𝔽_{q} 係数の多項式f_{1}, f_{2}, …, f_{m}

が与えられているとき、方程式系

f_{1}(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) = 0,
f_{2}(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) = 0,
…,
…,
…,
f_{m}(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) = 0

を V (f_{1}, …, f_{m}) あるいは (f_{1}, f_{2}, …, f_{m} がわかりきっている時には) V であらわす。

𝔽_{q^{r}} での V (f_{1}, …, f_{m}) の解の全体を V (f_{1}, …, f_{m})(𝔽_{q^{r}}) で書き表す。定義 10.1. 方程式系 V の合同ゼータ関数を

Z(V, t) = exp (∑_{k=1}^{∞} \frac{#V (𝔽_{q^{k}})}{k}t^{k})

によって定義する。定義体 𝔽_{q} を明示したい時は、 Z(V/𝔽_{q}, t) などとも書く。

上の定義は幾分わかりにくいかも知れない。この式の exp は実は結果を有理式にするための工夫である。いま、 #V (𝔽_{q^{k}}) = tr(A_{1}^{k}) − tr(A_{2})^{k} となるような行列 A_{1}, A_{2} が存在したとするならば、

exp (∑_{k=1}^{∞} \frac{#V (𝔽_{q^{k}})}{k}t^{k})

= exp (∑_{k=1}^{∞} \frac{tr(A_{1}^{k}) − tr(A_{2}^{k})}{k}t^{k})
= exp(tr(− log(1 − A_{1}t) − tr(− log(1 − A_{2}t))
= det(1 − A_{2}t)/ det(1 − A_{1}t)

と行列式表示ができる。このような A_{1}, A_{2} があるかどうか、その固有値はどのようなものであるか、が面白い所であるが、本講義ではさすがにそこまでは踏み込めない。例 . 2 個の変数 X, Y に関する方程式系 V = V (aX + bY, cX + dY)

(a, b, c, d ∈ 𝔽_{q}) に対して、 B = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) の階数を r とすると、

(1) r = 2 なら Z(V, t) = 1/(1 − t)

(2) r = 1 なら Z(V, t) = 1/(1 − qt)

(3) r = 0 なら Z(V, t) = 1/(1 − q^{2}t)

蛇足ながら、この B と上の A とは全く (と言うのは少し言いすぎかも知れないがほとんど) 関係ない。例 . 2個の変数 X, Y に関する方程式系 V = V (XY) に対して、 Z(V, t) = (1 − t)/(1 − qt)^{2}. 例 . 2 個の変数 X, Y に関する方程式系 V = V (Y − X^{2}) に対して、 Z(V, t) = 1/(1 − qt) 例 . 2 個の変数 X, Y に関する方程式系 V = V (Y X − 1) に対して、 Z(V, t) = (1 − t)/(1 − qt) 問題 10.1. 3 変数の方程式系 V (XY Z) の合同ゼータ関数をもとめなさい。問題 10.2. 3 変数の方程式系 V (XY Z, X + Y + Z − 1) の合同ゼータ関数をもとめなさい。問題 10.3. q = 5 とする。 2 変数の方程式系 V (X^{2} + Y^{2} − 1) の合同ゼータ関数 Z(V/𝔽_{5}, t) をもとめなさい。

ヒント: 𝔽_{5} には −1 の平方根が存在する。それをうまく使うこと。