代数学II 要約 No.10

今日のテーマ:

以下 $p$ は素数であるとし、$q=p^s$ ($s$ は正の整数)であるとする。

方程式系 $n$ 個の変数 $X_1,\dots,X_n$ に関する ${\mathbb{F}}_q$ 係数の多項式 $f_1,f_2,\dots,f_m$ が与えられているとき、 方程式系

$$f_1(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$f_2(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$\dots,$$

$$\dots,$$

$$\dots,$$

$$f_m(X_1,X_2,\dots,X_n)=0$$

を $V(f_1,\dots,f_m)$ あるいは ( $f_1,f_2,\dots,f_m$ がわかりきっている時には) $V$ であらわす。

${\mathbb{F}}_{q^r}$ での $V(f_1,\dots,f_m)$ の解の全体を $V(f_1,\dots,f_m)({\mathbb{F}}_{q^r})$ で書き表す。

定義 10.1   方程式系 $V$ の合同ゼータ関数を

$$Z(V,t)= \exp \left ( \sum_{k=1}^\infty \frac{\char93 V({\mathbb{F}}_{q^k})}{k}t^k \right)$$

によって定義する。定義体 ${\mathbb{F}}_q$ を明示したい時は、 $Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)$ などとも書く。

上の定義は幾分わかりにくいかも知れない。この式の $\exp$ は 実は結果を有理式にするための工夫である。 いま、 $\char93 V({\mathbb{F}}_{q^k})=\operatorname{tr}(A_1^k)-\operatorname{tr}(A_2)^k$ となるような行列 $A_1,A_2$ が 存在したとするならば、

$$\exp \left ( \sum_{k=1}^\infty \frac{\char93 V({\mathbb{F}}_{q^k})}{k}t^k \right)$$

$$= \exp \left ( \sum_{k=1}^\infty \frac{\operatorname{tr}(A_1^k)-\operatorname{tr}(A_2^k)}{k}t^k \right)$$

$$= \exp( \operatorname{tr}(-\log(1-A_1t)-\operatorname{tr}(-\log(1-A_2t))$$

$$= \operatorname{det}(1-A_2t)/\operatorname{det}(1-A_1t)$$

と行列式表示ができる。このような $A_1,A_2$ があるかどうか、 その固有値はどのようなものであるか、が面白い所であるが、本講義では さすがにそこまでは踏み込めない。

例   2個の変数 $X,Y$ に関する方程式系 $V=V(aX+bY,cX+dY)$ ( $a,b,c,d\in {\mathbb{F}}_q$) に対して、 $B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の階数を $r$ とすると、

1. $r=2$ なら $Z(V,t)=1/(1-t)$
2. $r=1$ なら $Z(V,t)=1/(1-qt)$
3. $r=0$ なら $Z(V,t)=1/(1-q^2t)$

蛇足ながら、この $B$ と上の $A$ とは全く(と言うのは少し言いすぎかも知れないが ほとんど)関係ない。

例   2個の変数 $X,Y$ に関する方程式系 $V=V(XY)$ に対して、 $Z(V,t)=(1-t)/(1-qt)^2$.

例   2個の変数 $X,Y$ に関する方程式系 $V=V(Y-X^2)$ に対して、 $Z(V,t)=1/(1-qt)$

例   2個の変数 $X,Y$ に関する方程式系 $V=V(YX-1)$ に対して、 $Z(V,t)=(1-t)/(1-qt)$

問題 10.1   3変数の方程式系 $V(XYZ)$ の合同ゼータ関数をもとめなさい。

問題 10.2   3変数の方程式系 $V(XYZ,X+Y+Z-1)$ の合同ゼータ関数をもとめなさい。

問題 10.3   $q=5$ とする。 2変数の方程式系 $V(X^2+Y^2-1)$ の合同ゼータ関数 $Z(V/{\mathbb{F}}_5,t)$ をもとめなさい。

ヒント: ${\mathbb{F}}_5$ には $-1$ の平方根が存在する。それをうまく使うこと。