代数学 II 要約 NO.11

今日のテーマ:

フロベニウス写像・ 1 変数の方程式のゼータ関数

補題 11.1. R は環で、ある素数 p があって、 p_{R} = \overbrace{1_{R} + 1_{R} + ⋯ + 1_{R}}^{p 個} = 0_{R} が成り立っているとする。このとき、 Φ : R → R を Φ(x) = x^{p} で定義すれば、 Φ は R からそれ自身への準同型 (自己準同型) を与える。

Φ を k 回繰り返した写像 (Φ)^{k} は

(Φ)^{k}(x) = x^{p^{k}}

で与えられることにも注意しておく。定義 11.1. 素数 p のベキ q = p^{s} にたいして、 𝔽_{q} の拡大体 𝔽_{q^{r}} の自己同型

Φ_{q} : x ↦ x^{q}

を 𝔽_{q^{r}} の 𝔽_{q} 上のフロベニウス自己同型と呼ぶ。補題 11.2. f(X) は 𝔽_{q} 上の n 次の既約多項式だとする。このとき、 f の根の一つを α とすると、

(1) α, α^{q}, α^{q^{2}}, …, α^{q^{n−1}} はそれぞれ f の根である。

(2) f の根は上で挙げたもので尽きている。補題 11.3. 𝔽_{q^{r}} の 𝔽_{q} 上の自己同型 (𝔽_{q^{r}} から 𝔽_{q^{r}} への自己同型写像で 𝔽_{q} に制限すると恒等写像になるもの) の全体は、 Φ_{q} によって生成される位数 r の巡回群である。

次の補題は補題 11.2 の (1) の拡張にあたる。補題 11.4. n 変数の多項式 f_{1}, f_{2}, …, f_{m} ∈ 𝔽_{q}[X_{1}, X_{2}, …, X_{n}] の決める方程式系 V_{1} = V (f_{1}, f_{2}, …, f_{m}) に対して、「フロベニウス写像」 Φ_{q} : V_{1}(F_{q^{r}}) ∋ x ↦ Φ_{q}(x) ∈ V_{1}(F_{q^{r}}) を次のようにして定義できる。

Φ_{q}(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = (Φ_{q}(x_{1}), Φ_{q}(x_{2}), …, Φ_{q}(x_{n}))

x が Φ_{q} の不動点 (Φ_{q}(x) = x) であることと、 x ∈ V_{1}(F_{q}) であることとは同値である。

本講義では触れないが、上の補題は合同ゼータ関数の性質を調べる最初のヒントになる。

1 変数方程式のゼータ関数を決定しておこう。まず既約性についての簡単な補題から補題 11.5. 𝔽_{q} 上の 1 変数 n 次多項式 f(X) に対して、

(1) f の既約因子 q は f と X^{q^{k}} − X (k = deg(q)) との共通因子である。

(2) f が既約であるための必要十分条件は、 k = 1, 2, …, n − 1 の各々に対し、 f(X) と X^{q^{k}} − X とが共通因子をもたないことである。

例えば、 𝔽_{q} 上の 4 次または 5 次の 1 変数多項式 f(X) は、 X^{q^{2}} − X と共通因子をもたなければ既約である。補題 11.6. 𝔽_{q} 上の既約な 1 変数 n 次多項式 f(X) が与えられているとする。このとき、

(1) f(X) が 𝔽_{q^{r}} のなかに根をもつのは r が n の倍数のときに限る。 (2) r が n の倍数ならば、 𝔽_{q^{r}} のなかの f(X) の根はちょうど n 個

ある。命題 11.1. 𝔽_{q} 上の既約な 1 変数多項式 n 次多項式 f(X) に対して、 V (f) の合同ゼータ関数は

Z(V (f), t) = 1/(1 − t^{n})

で与えられる。今回の話をもちいると、次の２問はかなり解きやすくなる。問題 8.1 次のような (1)-(3) の例を ((4) が解きやすいように) 作り,(4)

を求めなさい。 (1) 素数 p > 2

(2) 正の整数 n > 2

(3) 𝔽_{p} 上の相異なる n 次既約多項式 f, g ∈ 𝔽_{p}[X]

(4) 𝔽_{p}[X]/f(X)𝔽_{p}[X] での g の一次式への分解

問題 9.1 p = 5 とする。 𝔽_{p} 上のモニックな 4 次既約多項式 f の例を挙げ、 f の一つの根を α とした時、 f の他の根を α であらわしなさい。 (つまり、 f を 𝔽_{p}[α] 上で一次式の積に分解しなさい。 ) 問題 11.1. 𝔽_{3} 上の多項式 f(X) = X^{4} + 1 に対して、

(1) f を 𝔽_{3} 上の既約な多項式の積に分解しなさい。

(2) V (f) の合同ゼータ関数 Z(V (f), t) を求めよ。 (ヒント: f は 𝔽_{3} 上\underline{既約ではない}ので、命題 11.1 はそのままでは使えない。 ) 問題 11.2. 4 で割ると 3 余るような素数 p に対しては、 a ∈ ℤ/pℤ をどのように選んでも、 X^{4} − a は ℤ/pℤ 上既約にならないことを示しなさい。問題 11.3. 4 で割ると 1 余るような素数 p に対して、 (ℤ/pℤ)^{×} の生成元 r をとる。このとき、

(1) r^{(p^{2}−1)/4} = −1 であることを示しなさい。

(2) X^{4} − r は ℤ/pℤ 上既約であることを示しなさい。

(ヒント:任意の素数 p > 2 と (ℤ/pℤ)^{×} の生成元 r とに対して、 r^{(p−1)/2} は (ℤ/pℤ)^{×} の位数 2 の元である。 (なぜか？ )) 問題 11.4. 𝔽_{p} の元 a で、どんな b ∈ 𝔽_{p} をとってきても b^{2} ≠ a を満たすものが与えられたとする。 f(X) = X^{2}−a とし、 R = 𝔽_{p}[X]/f(X)𝔽_{p}[X] を 𝔽_{p} 上の 2 次元ベクトル空間と見たとき、 R ∋ r ↦ r^{2} ∈ R を表示するような 2 次行列 A をもとめ、 tr(A^{k}) を計算しなさい。 V (X^{2} − a) の合同ゼータ関数とこの結果の関係について、わかることを (思い付く限り) 述べよ。

(tr(A^{k}) は 𝔽_{p} の元であるから、「個数」という量 (ℤ の元) と比べると少し情報量が落ちる。この問題で、 X^{2} − a を任意の既約多項式に置き換えても同様のことができるのだが、それは少し難しすぎるので、ここでは問題としては課さない。 )