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代数学II 要約 No.11

今日のテーマ:

\fbox{フロベニウス写像・1変数の方程式のゼータ関数}

補題 11.1   $ R$ は環で、ある素数 $ p$ があって、 $ p_R=
\overbrace
{1_R+1_R+\dots +1_R}
^{\text{$p$ 個}}
=0_R$ が 成り立っているとする。 このとき、 $ \Phi:R\to R$ $ \Phi(x)=x^p$で定義すれば、$ \Phi$$ R$ からそれ自身への準同型(自己準同型)を与える。

$ \Phi$$ k$ 回繰り返した写像 $ (\Phi)^k$

$\displaystyle (\Phi)^k(x)=x^{p^k}
$

で与えられることにも注意しておく。

定義 11.1   素数 $ p$ のベキ % latex2html id marker 1193
$ q=p^s$ にたいして、 % latex2html id marker 1195
$ {\mathbb{F}}_q$ の拡大体 % latex2html id marker 1197
$ {\mathbb{F}}_{q^r}$ の自己同型

% latex2html id marker 1199
$\displaystyle \Phi_q: x\mapsto x^q
$

% latex2html id marker 1201
$ {\mathbb{F}}_{q^r}$ % latex2html id marker 1203
$ {\mathbb{F}}_q$ 上のフロベニウス自己同型と呼ぶ。

補題 11.2   $ f(X)$ % latex2html id marker 1208
$ {\mathbb{F}}_q$ 上の $ n$ 次の既約多項式だとする。このとき、 $ f$ の根の一つを $ \alpha$ とすると、
  1. % latex2html id marker 1216
$ \alpha, \alpha^q, \alpha^{q^2},\dots,\alpha^{q^{n-1}}$ は それぞれ $ f$ の根である。
  2. $ f$ の根は上で挙げたもので尽きている。

補題 11.3   % latex2html id marker 1223
$ {\mathbb{F}}_{q^r}$ % latex2html id marker 1225
$ {\mathbb{F}}_q$ 上の自己同型 ( % latex2html id marker 1227
$ {\mathbb{F}}_{q^r}$ から % latex2html id marker 1229
$ {\mathbb{F}}_{q^r}$ への自己同型写像で % latex2html id marker 1231
$ {\mathbb{F}}_q$ に制限すると恒等写像になるもの)の全体は、 % latex2html id marker 1233
$ \Phi_q$ によって生成される位数 $ r$ の巡回群である。

次の補題は補題11.2の(1)の拡張にあたる。

補題 11.4   $ n$ 変数の多項式 % latex2html id marker 1240
$ f_1,f_2,\dots,f_m \in {\mathbb{F}}_q[X_1,X_2,\dots,X_n]$ の 決める方程式系 $ V_1=V(f_1,f_2,\dots,f_m)$ に対して、 「フロベニウス写像」 % latex2html id marker 1244
$ \Phi_q: V_1(F_{q^r})\ni x \mapsto \Phi_q(x)\in V_1(F_{q^r})$ を次のようにして定義できる。

% latex2html id marker 1246
$\displaystyle \Phi_q(x_1,x_2,\dots,x_n)=(\Phi_q(x_1),\Phi_q(x_2),\dots,\Phi_q(x_n))
$

$ x$% latex2html id marker 1250
$ \Phi_q$ の不動点 ( % latex2html id marker 1252
$ \Phi_q(x)=x$)であることと、 % latex2html id marker 1254
$ x\in V_1(F_q)$ であることとは同値である。

本講義では触れないが、 上の補題は合同ゼータ関数の性質を調べる最初のヒントになる。

1変数方程式のゼータ関数を決定しておこう。 まず既約性についての簡単な補題から

補題 11.5   % latex2html id marker 1257
$ {\mathbb{F}}_q$ 上の1変数 $ n$ 次多項式 $ f(X)$ に対して、
  1. $ f$ の既約因子 % latex2html id marker 1265
$ q$$ f$ % latex2html id marker 1269
$ X^{q^k}-X \quad (k=\deg(q))$ との共通因子である。
  2. $ f$ が既約であるための必要十分条件は、 $ k=1,2,\dots,n-1 $ の各々に対し、 $ f(X)$% latex2html id marker 1277
$ X^{q^k}-X $ とが共通因子をもたないことである。
例えば、 % latex2html id marker 1279
$ {\mathbb{F}}_q$ 上の4次または5次の1変数多項式 $ f(X)$ は、% latex2html id marker 1283
$ X^{q^2}-X$ と共通因子を もたなければ既約である。

補題 11.6   % latex2html id marker 1286
$ {\mathbb{F}}_q$ 上の既約な1変数 $ n$ 次多項式 $ f(X)$ が与えられているとする。このとき、
  1. $ f(X)$ % latex2html id marker 1294
$ {\mathbb{F}}_{q^r}$ のなかに根をもつのは $ r$$ n$ の倍数のときに限る。
  2. $ r$$ n$ の倍数ならば、 % latex2html id marker 1304
$ {\mathbb{F}}_{q^r}$ のなかの $ f(X)$ の根はちょうど $ n$ 個ある。

命題 11.1   % latex2html id marker 1311
$ {\mathbb{F}}_q$ 上の既約な1変数多項式 $ n$ 次多項式 $ f(X)$ に対して、 $ V(f)$ の合同ゼータ関数は

$\displaystyle Z(V(f),t)=1/(1-t^n)
$

で与えられる。

今回の話をもちいると、次の2問はかなり解きやすくなる。

問題 8.1 次のような(1)-(3)の例を((4)が解きやすいように)作り,(4)を 求 めなさい。

(1) 素数 $ p>2$

(2) 正の整数 $ n>2$

(3) $ {\mathbb{F}}_p$ 上の相異なる $ n$ 次既約多項式 $ f,g\in{\mathbb{F}}_p[X]$

(4) $ {\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ での $ g$ の一次式への 分解

問題 9.1 $ p=5$ とする。 $ {\mathbb{F}}_p$ 上のモニックな4次既約多項 式 $ f$ の例を挙げ、 $ f$ の一つの根を $ \alpha$ とした時、 $ f$ の他 の根を $ \alpha$ であらわしなさい。 (つまり、 $ f$ $ {\mathbb{F}}_p[\alpha]$ 上で一次式の積に分解しなさい。)

問題 11.1   $ {\mathbb{F}}_3$ 上の多項式 $ f(X)=X^4+1$ に対して、
  1. $ f$ $ {\mathbb{F}}_3$ 上の既約な多項式の積に分解しなさい。
  2. $ V(f)$ の合同ゼータ関数 $ Z(V(f),t)$ を求めよ。
(ヒント: $ f$ $ {\mathbb{F}}_3$既約ではないので、命題 11.1は そのままでは使えない。)

問題 11.2   $ 4$ で割ると $ 3$ 余るような素数 $ p$ に対しては、 $ a\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を どのように選んでも、 $ X^4-a$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上既約にならないことを示しなさい。

問題 11.3   $ 4$ で割ると $ 1$ 余るような素数 $ p$ に対して、 $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の生成元 $ r$ をとる。このとき、
  1. $ r^{(p^2-1)/4}=-1$ であることを示しなさい。
  2. $ X^4-r$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 上既約であることを示しなさい。

(ヒント:任意の素数 $ p>2$ $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の生成元 $ r$ とに対して、 $ r^{(p-1)/2}$ $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ の位数 $ 2$ の元である。(なぜか?))

問題 11.4   $ {\mathbb{F}}_p$ の元 $ a$ で、どんな $ b\in {\mathbb{F}}_p$ をとってきても % latex2html id marker 1419
$ b^2\neq a$ を満たすものが与えられたとする。 $ f(X)=X^2-a$ とし、 $ R={\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ $ {\mathbb{F}}_p$ 上の 2次元ベクトル空間と見たとき、 $ R\ni r\mapsto r^2\in R$ を表示するような 2次行列 $ A$ をもとめ、 $ \operatorname{tr}(A^k)$ を計算しなさい。 $ V(X^2-a)$ の合同ゼータ関数とこの結果の関係について、わかることを (思い付く限り)述べよ。

( $ \operatorname{tr}(A^k)$ $ {\mathbb{F}}_p$ の元であるから、「個数」という量( $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元) と比べると少し情報量が落ちる。 この問題で、$ X^2-a$ を任意の既約多項式に置き換えても同様のことが できるのだが、それは少し難しすぎるので、ここでは問題としては課さない。)


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2002年7月2日