代数学II 要約 No.12

今日のテーマ:

前回、次の補題が残ってしまっていた。

補題 12.1 (補題11.6と同じ)   ${\mathbb{F}}_q$ 上の既約な1変数 $n$ 次多項式 $f(X)$ が与えられているとする。このとき、

1. $f(X)$ が ${\mathbb{F}}_{q^r}$ のなかに根をもつのは $r$ が $n$ の倍数のときに限る。
2. $r$ が $n$ の倍数ならば、 ${\mathbb{F}}_{q^r}$ のなかの $f(X)$ の根はちょうど $n$ 個ある。

命題 12.1 (命題11.1と同じ)   ${\mathbb{F}}_q$ 上の既約な1変数多項式 $n$ 次多項式 $f(X)$ に対して、 $V(f)$ の合同ゼータ関数は

$$Z(V(f),t)=1/(1-t^n)$$

で与えられる。

一般に、ゼータ関数が $p$ によってどのように変わるかは複雑である。 例えば $X^2-5$ は各素数 $p$ に対して ${\mathbb{F}}_p$ 上の多項式と見られるが、 それが既約かどうかは $p$ によって異なる。 どのような $p$ に対して既約であるかを判定するのに 便利なのが、平方剰余記号とその相互法則である。 相互法則の証明はいろいろ知られているが、この講義の話の応用として 有限体上のガウス和を用いた証明を紹介する。

定義 12.1   奇素数 $p$ と、$p$ で割れない整数 $a$ に対して、 平方剰余記号(Legendre 記号)を

$${\left(\frac{a}{p}\right)}= \begin{cases} 1 & (X^2-a\text{ .. ...-a\text{ が }{\mathbb{F}}_p\text{ 上既約のとき})\\ \end{cases}$$

により定義する。$a$ が $p$ の倍数の時には、 ${\left(\frac{a}{p}\right)}=0$ と定義する。

補題 12.2   奇素数 $p$ に対して、次の式が成り立つ。

1. $${\left(\frac{a}{p}\right)}= a^{(p-1)/2} \mod p$$

2. $${\left(\frac{ab}{p}\right)}= {\left(\frac{a}{p}\right)} {\left(\frac{b}{p}\right)}$$

とくに ${\left(\frac{-1}{p}\right)}=(-1)^{(p-1)/2}$ にも注意しておく。

定義 12.2   $p,\ell$ は相異なる奇素数であるとし、 ${\mathbb{F}}_p$ の拡大体の $1$ の原始 $\ell$-乗根 $\lambda$ を取る。 整数 $a$ に対して、有限体のガウス和 $\tau_a$ を

$$\tau_a=\sum_{t=1}^{\ell-1}{\left(\frac{t}{\ell}\right)}\lambda^{at}$$

で定義する。 $\tau_1$ のことを単に $\tau$ とかく。

補題 12.3   次の等式が成り立つ。

1. $\tau_a={\left(\frac{a}{\ell}\right)}\tau$.
2. $\sum_{a=0}^{l-1} \tau_a \tau_{-a}=\ell(\ell-1)$.
3. $\tau^2=(-1)^{(\ell-1)/2}\ell$ ($=\ell^*$ と書く).
4. $\tau^{p-1}=(\ell^*)^{(p-1)/2}$.
5. $\tau^p=\tau_{p}$.

(なぜ、上の補題のような計算をしたくなるのか、 その一つのヒントはフーリエ級数論にある。)

上の補題を使うと次の定理を証明できる。但し(3)の証明は問題に譲る。

定理 12.2 (平方剰余の相互法則)   奇素数 $\ell$ に対して次の等式が成り立つ。

1. ${\left(\frac{p}{\ell}\right)}={\left(\frac{\ell^*}{p}\right)}$ (但し $\ell^*=(-1)^{(\ell-1)/2}\ell$)
2. ${\left(\frac{-1}{\ell}\right)}=(-1)^{(\ell-1)/2}$
3. ${\left(\frac{2}{\ell}\right)}=(-1)^{(\ell^2-1)/8}$

問題 12.1   ${\mathbb{F}}_{359}$ 上の多項式 $X^2-113$ は既約かどうか判定しなさい。 ヒントをつけると簡単すぎるのでノーヒント。

問題 12.2   $p$ は奇素数であるとする。 ${\mathbb{F}}_p$ 上の多項式 $f(X)=X^2-5$ に対して、その定める方程式(系) $V(f)$ の ゼータ関数 $Z(V(f),t)$ を求めよ。

問題 12.3   奇素数 $p$ に対して、

$X^4+1\in {\mathbb{F}}_p[X]$ の根を $\zeta$ とするとき、

1. $x=\zeta+\zeta^{-1}$ の二乗 $x^2$ をもとめなさい。
2. $p=\pm 1 \mod 8$ のとき、$x^p-x$ を求めなさい。
3. $p=\pm 3 \mod 8$ のとき、$x^p+x$ を求めなさい。
4. ${\left(\frac{2}{p}\right)}=(-1)^{(p^2-1)/8}$ を示しなさい。