代数学 II 要約 NO.13

今日のテーマ:

平方剰余の相互法則 II 前回、平方剰余の相互法則の証明が残ってしまっていた。ガウスの

和の定義の復習から書いておこう。定義 13.1. p, ℓ は相異なる奇素数であるとし、 𝔽_{p} の拡大体の 1 の原始 ℓ-乗根 λ を取る。整数 a に対して、有限体のガウス和 τ_{a} を

τ_{a} = ∑_{t=1}^{ℓ−1} (\frac{t}{ℓ})λ^{at}

で定義する。 τ_{1} のことを単に τ とかく。

ついでにこの定義の意味についてもう少しだけ述べておこう。まず、上の λ は次のようにしてとることができる。 𝔽_{p^{ℓ−1}}^{×} は位数 p^{ℓ−1} − 1 の巡回群で、その生成元を ξ とおく。フェルマーの小定理により p^{ℓ−1} − 1 は ℓ で割り切れるから、 ξ^{(p^{ℓ−1}−1)/ℓ} を考えることができる。この元の位数はちょうど ℓ であるから、これを λ とすればいい。なお、 λ の取り方は一意的ではなく、 1 の ℓ 乗根は λ^{a} a = 0, 1, 2, …, p − 1 の p 個ある。これらに対応して τ_{a} ができる。下の補題の (1) はそれらが符号の差を除いて等しいことを述べている。ただし、 a = 0 のときだけは特別で、 τ_{0} = 0 がなりたつ。補題 13.1. 次の等式が成り立つ。

(1) τ_{a} = (\frac{a}{ℓ})τ.

(2) ∑_{a=0}^{ℓ−1} τ_{a}τ_{−a} = ℓ(ℓ − 1).

(3) τ^{2} = (−1)^{(ℓ−1)/2}ℓ (= ℓ^{∗} と書く).

(4) τ^{p−1} = (ℓ^{∗})^{(p−1)/2}.

(5) τ^{p} = τ_{p}. 定理 13.1 (平方剰余の相互法則). 奇素数 ℓ に対して次の等式が成り立つ。

(1) (\frac{p}{ℓ}) = (\frac{ℓ^{∗}}{p} ) (但し ℓ^{∗} = (−1)^{(ℓ−1)/2}ℓ)

問題 13.1. p = 31, ℓ = 5 にたいして、 𝔽_{p} の 1 の原始 ℓ-乗根を一つ見つけ、ガウスの和 τ を求めて、 τ^{2} を実際に計算してみなさい。問題 13.2. 奇素数 ℓ と、体 K が与えられていて、 1 の原始 ℓ 乗根 λ が K のなかに存在するとする。 (とくに、 K の標数は ℓ ではない。 ) 𝔽_{ℓ} 上の K-値関数の全体 V は (各点ごとの加法、スカラー倍により) K 上のベクトル空間になり、 V 上に内積が

⟨f, g⟩ = ∑_{a=0}^{ℓ−1} f(a)g(−a)

で定まる。 (証明不要)

(1) V の K 上の次元を求めよ。 (答のみでよい。 )

(2) (指標の直交性。 ) a = 0, 1, …, ℓ − 1 に対して、 V の元 χ_{a} を、

χ_{a}(x) = λ^{ax}

で定義するとき、内積 ⟨χ_{a}, χ_{b}⟩ を求めよ。

(3) {χ_{a}}_{a=0}^{ℓ−1} は V の基底であることを示しなさい。さらに、 V の元 f を

f = ∑_{a=0}^{ℓ−1} c_{a}χ_{a}

と書くためには、 c_{a} ∈ K をどのように求めればよいか、述べなさい。

問題 13.3. 前問と同じ仮定の下で、フーリエ変換 ℱ : V → V を、

ℱ[f](a) = ⟨f, χ_{a}⟩

で定義する。このとき、 (1) ⟨ℱ[f], χ_{a}⟩ = ℓf(−a) がなりたつことを示しなさい。

(2) ℱ[ℱ[f]] を計算し、 ℱ の逆変換を求めなさい。

(3) 任意の f, g ∈ V に対して、 ⟨ℱ[f], g⟩ = ⟨f, ℱ[g]⟩ が成り立つことを示しなさい。

(4) f_{L} ∈ V を

f_{L}(a 1_{𝔽_{ℓ}}) = (\frac{a}{ℓ})1_{K} (a ∈ ℤ)

で定義する。 f_{L} は ℱ の固有ベクトルであることを示し、それが属する固有値を求めなさい。