代数学II 要約 No.13

今日のテーマ:

前回、平方剰余の相互法則の証明が残ってしまっていた。 ガウスの和の定義の復習から書いておこう。

定義 13.1   $p,\ell$ は相異なる奇素数であるとし、 ${\mathbb{F}}_p$ の拡大体の $1$ の原始 $\ell$-乗根 $\lambda$ を取る。 整数 $a$ に対して、有限体のガウス和 $\tau_a$ を

$$\tau_a=\sum_{t=1}^{\ell-1}{\left(\frac{t}{\ell}\right)}\lambda^{at}$$

で定義する。 $\tau_1$ のことを単に $\tau$ とかく。

ついでにこの定義の意味についてもう少しだけ述べておこう。 まず、上の $\lambda$ は次のようにしてとることができる。 ${\mathbb{F}}_{p^{\ell-1}}^\times$ は位数 $p^{\ell-1}-1$ の巡回群で、 その生成元を $\xi$ とおく。 フェルマーの小定理により $p^{\ell-1}-1$ は $\ell$ で割り切れるから、 $\xi^{(p^{\ell-1}-1)/\ell}$ を考えることができる。この元の 位数はちょうど $\ell$ であるから、これを $\lambda$ とすればいい。 なお、$\lambda$ の取り方は一意的ではなく、 1の $\ell$ 乗根は $\lambda^a$ $a=0,1,2,\dots,p-1$ の $p$ 個ある。 これらに対応して $\tau_a$ ができる。下の補題の(1)はそれらが符号の差を除いて 等しいことを述べている。ただし、$a=0$ のときだけは 特別で、$\tau_0=0$ がなりたつ。

補題 13.1   次の等式が成り立つ。

1. $\tau_a={\left(\frac{a}{\ell}\right)}\tau$.
2. $\sum_{a=0}^{\ell-1} \tau_a \tau_{-a}=\ell(\ell-1)$.
3. $\tau^2=(-1)^{(\ell-1)/2}\ell$ ($=\ell^*$ と書く).
4. $\tau^{p-1}=(\ell^*)^{(p-1)/2}$.
5. $\tau^p=\tau_{p}$.

定理 13.1 (平方剰余の相互法則)   奇素数 $\ell$ に対して次の等式が成り立つ。

1. ${\left(\frac{p}{\ell}\right)}={\left(\frac{\ell^*}{p}\right)}$ (但し $\ell^*=(-1)^{(\ell-1)/2}\ell$)

問題 13.1   $p=31$, $\ell=5$ にたいして、 ${\mathbb{F}}_p$ の $1$の原始 $\ell$-乗根を 一つ見つけ、ガウスの和 $\tau$ を求めて、$\tau^2$ を実際に計算してみなさい。

問題 13.2   奇素数 $\ell$ と、体 $K$ が与えられていて、 $1$ の原始 $\ell$ 乗根 $\lambda$ が $K$ のなかに存在するとする。 (とくに、$K$ の標数は $\ell$ ではない。) ${\mathbb{F}}_\ell$ 上の $K$-値関数の全体 $V$ は (各点ごとの加法、スカラー倍により) $K$ 上のベクトル空間になり、 $V$ 上に内積が

$$\langle f,g \rangle=\sum_{\ell=0}^{\ell-1}f(a)g(-a)$$

で定まる。(証明不要)

1. $V$ の $K$ 上の次元を求めよ。(答のみでよい。)
2. (指標の直交性。) $a=0,1,\dots,\ell-1$ に対して、$V$ の元 $\chi_a$ を、
   $$\chi_a(x)=\lambda^{ax}$$
   で定義するとき、内積 $\langle \chi_a,\chi_b \rangle$ を求めよ。
3. $\{\chi_a\}_{a=0}^{\ell-1}$ は $V$ の基底であることを示しなさい。 さらに、$V$ の元 $f$ を
   $$f=\sum_{a=0}^{\ell-1} c_a \chi_a$$
   と書くためには、 $c_a \in K$ をどのように求めればよいか、述べなさい。

問題 13.3   前問と同じ仮定の下で、 フーリエ変換 $\mathcal F:V\to V$ を、

$$\mathcal F[f](a)=\langle f,\chi_a \rangle$$

で定義する。このとき、

1. $\langle \mathcal F[f],\chi_a\rangle =\ell f(-a)$ がなりたつこと を示しなさい。
2. $\mathcal F[\mathcal F[f]]$ を計算し、 $\mathcal F$ の逆変換を求めなさい。
3. 任意の $f,g\in V$ に対して、 $\langle \mathcal F[f],g \rangle=\langle f,\mathcal F [g]\rangle$ が 成り立つことを示しなさい。
4. $f_L\in V$ を
   $$f_L (a 1_{{\mathbb{F}}_\ell}) ={\left(\frac{a}{\ell}\right)}1_K \qquad (a \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$
   で定義する。$f_L$ は $\mathcal F$ の固有ベクトルであることを示し、 それが属する固有値を求めなさい。