代数学 II 要約 NO.14

試験対策試験の注意：他人の迷惑になるものを除いては、何でも持ち込み可である。電卓、コンピュータ等があったほうが簡単な問題もあり得るので、そ

のようなものを持ち込んでも構わない。 (今回の問題はレポート問題ではない。 )

問題 14.1. 写像 𝔽_{p} ∋ x ↦ x^{k} − x ∈ 𝔽_{p} は定値写像 𝔽_{p} ∋ x ↦ 0 ∈ 𝔽_{p} と等しいか、次の各々の場合に答えなさい。

(1) p = 3, k = 5 のとき。

(2) p = 5, k = 5 のとき。

(3) p = 5, k = 25 のとき。

(4) p = 5, k = 20 のとき。

問題 14.2. 𝔽_{3} 上の多項式 X^{2} + X − 1 の根を α とおく時、 𝔽_{3}[α] の多項式 X^{9} − X を一次式の積に分解しなさい。

問題 14.3. 奇素数 p が与えられているとするとき、 𝔽_{p} 上の方程式系 V_{1} = V ((Y − X^{2})(Y − 3)) の合同ゼータ関数 Z(V_{1}/𝔽_{p}, t) を求めよ。

問題 14.4. 奇素数 p が与えられているとするとき、 𝔽_{p} 上の 2 変数の方程式系 V_{2} = V (X^{2} − Y^{2} − 1) の合同ゼータ関数 Z(V_{2}/𝔽_{p}, t) を求めよ。

問題 14.5. 奇素数 p が与えられているとするとき、 𝔽_{p} 上の 2 変数の方程式系 V_{2} = V (X^{2} + Y^{2} − 1) の合同ゼータ関数 Z(V_{2}/𝔽_{p}, t) を求めよ。

問題 14.6. 奇素数 p が与えられているとするとき、 𝔽_{p} 上の 1 変数の方程式系 V_{3} = V (X^{10} − 1) の合同ゼータ関数 Z(V_{3}/𝔽_{p}, t) を求めよ。