代数学II 試験略解

問題 14.1   写像 ${\mathbb{F}}_p \ni x \mapsto x^k-x^2 \in {\mathbb{F}}_p$ が定値写像 ${\mathbb{F}}_p \ni x \mapsto 0 \in {\mathbb{F}}_p$ と等しくなるための $k,p$ の条件を 求めなさい。 (わからない場合には $k,p$ のできるだけ多くの組みに対して二つの写像が 等しいかどうか判定せよ。)

(答え) $k>0$ で、$k-2$ が $p-1$ で割り切れればよい。

(証明) 便宜上, 最初の写像を $f$,次の写像を $g$ とおく。 $k=0$ なら $f=g$ となるのは不可能なので、 $k>0$ の場合を考える。 このとき、 $f(0)=g(0)=0$ であるから, $x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ のときの $f$ と $g$ の値が一致するかどうか調べればよい。

いま、 $k-2=(p-1)m$ なる整数 $m$ があったとすると、 フェルマの小定理により

$$x^k-x^2=(x^{p-1})^m x^2-x^2 =1^m x^2-x^2=0$$

となり、$f(x)=g(x)$ がすべての $x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ について成り立つことが わかる。

逆に, $f=g$ と仮定しよう。$k-2$ を $p-1$ で割った 商を $m$, あまりを $r$ とおくと、全ての $x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ にたいして,

$$f(x)=x^k-x^2=x^2(x^r-1)$$

であることが上と同様にしてわかる。 $f(x)=g(x)=0$ で, かつ $x^2\neq 0$ (で、かつ ${\mathbb{F}}_p$ は体)だから、$x^r-1=0$ がすべての $x\in {\mathbb{F}}_p^\times$ について成り立つことになる。もし $r\neq 0$ ならば, これは $p-1$ 個 の元が $r$ 次方程式の根になることになって、矛盾。ゆえに、 $r=0$ である。

この問題に限らず、解答は証明（とは言わないまでもなぜその答えで正しいかの 説明)があってはじめて一人前である。

問題 14.2   体 $K$ の2つの元 $x,y$ が、 $x^2+y^2=0$ を満たすとき、$x=0$ かつ $y=0$ と いえるだろうか。いえるならば証明をつけ、いえないならば反例を 3つ以上あげなさい。($K$ の標数が 0 の場合と 0 でない場合の両方について 議論すること.)

(答え)

これは簡単である。標数 0 なら $K={\mathbb{C}}$ で

$$1^2+(i)^2=0$$

などが反例となる。

標数が正のものに関しては、標数 $2$ の $K={\mathbb{F}}_2$ で

$$1^2+1^2=0$$

標数 $5$ の $K={\mathbb{F}}_5$ で,

$$1^2+2^2=0$$

などを反例にあげればよい。

問題 14.3   ${\mathbb{F}}_5$ 上の多項式 $X^2+X-1$ の根を $\alpha$ とおく時、 ${\mathbb{F}}_{5}[\alpha]$ の多項式 $X^6-1$ を一次式の積に分解しなさい。

(答え)

この問題はまちがっておった。二次式のほうは $X^2+X+2$ にすべきであった。 $X^2+X-1$ は既約でないからである。

問題のままでは, $X^6-1$ は一次式の積に分解できない。 ただし(なぜ分解できないかまで含めた)正しい指摘は皆無であった。寂しい限りである。

本当は $({\mathbb{F}}_{25})^\times$ の位数が 24 であることを用いる問題だった。

問題 14.4   奇素数 $p$ が与えられているとするとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の2変数の方程式系 $V_1=V((X^2-2Y^2-1)(Y-2))$ の合同ゼータ関数 $Z(V_1/{\mathbb{F}}_p,t)$ を求めよ。

$V(X^2-2Y^2-1)$ と $V(Y-2)$ の共通部分は $(3,2),(-3,2)$ の二点である。 それ以外は講義で説明した通りである。 念のために述べておくと、 $W= V(X^2-2Y^2-1)$ とおいて, $W({\mathbb{F}}_q)$ の元の 数を求める必要があるのだが、

(1) $2$ が ${\mathbb{F}}_q$ で平方根を持つときには、 $W({\mathbb{F}}_q)$ の元の数は ${\mathbb{F}}_q^\times$ の元の数と同じであって、$q-1$ である。

(2) $2$ が ${\mathbb{F}}_q$ で平方根を持たないときには, $W({\mathbb{F}}_q)$ の元のうち $(1,0)$ 以外は

$$(\frac{m^2+2}{m^2-2},\frac{2m}{m^2-2}) \qquad (m\in {\mathbb{F}}_q)$$

とパラメータ表示できて、 $\char93 W({\mathbb{F}}_q)=q+1$ になる.

したがって $2$ が modulo $p$ で平方剰余ならば,

$$Z(W/{\mathbb{F}}_p,t) =\exp(\sum_{k=1}^\infty( (p^k-1)/k t^k)$$

$$=\frac{1-t}{1-pt}$$

となり, $2$ が modulo $p$ で平方非剰余ならば $\char93 (W({\mathbb{F}}_{p^r})=p^r+(-1)^r$ と なって,

$$Z(W/{\mathbb{F}}_p,t) =\exp(\sum_{k=1}^\infty( (p^k+(-1)^k)/k t^k)$$

$$=\frac{1}{(1-pt)(1+t)}$$

あとは、一般に,方程式系 $W,U$ に対して,

$$Z(W\cup U)=Z(W)Z(U)/Z(W\cap U)$$

が成り立つ(もちろん上のようなゼータレベルでなく,個数のレベルで同じことを してもよい.)ことをを用いればよい。

答えは

$p$ が平方剰余のとき(つまり $p$ を $8$ で割ったあまりが $1$ または $7$ のとき,

$$Z(V_1,t)=\frac{1-t}{1-pt} \frac{(1-t)^2}{1-pt}=\frac{(1-t)^3}{(1-pt)^2}$$

$p$ が平方非剰余のとき(つまり $p$ を $8$ で割ったあまりが $3$ または $5$ のとき,

$$Z(V_1,t)=\frac{1}{(1-pt)(1+t)} \frac{(1-t)^2}{1-pt}=\frac{(1-t)^2}{(1-pt)^2(1+t)}$$

という具合になる.

問題 14.5   奇素数 $p$ が与えられているとするとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の3変数の方程式系 $V_2=V((X^2+Y^2-Z^2)$ の合同ゼータ関数 $Z(V_2/{\mathbb{F}}_p,t)$ を求めよ。

$X$ 座標 $x$ の値によって $V_2({\mathbb{F}}_{q})$ の元を分類すればよい。 (これは幾何学的には円錐を平面で切ることにあたる). $x=0$ のときは、 $V(Y^2-Z^2)$ の解の数だが、これは先刻承知($2q-1$)のはずである。 $x\neq 0$ のときは、$Y/x$, $Z/x$ を $Y,Z$ と変数変換することにより, $\char93 (V(x^2+Y^2-Z^2)({\mathbb{F}}_{q}))=\char93 (V(1+Y^2-Z^2)({\mathbb{F}}_{q}))$ をえる。 この解の数は前問同様 $q-1$ になる。あとはそれらを足せばよい。

$$\char93 V(X^2+Y^2-Z^2)({\mathbb{F}}_{q})= 2q-1 +(q-1)(q-1)=q^2$$

よって

$$Z(V_2/{\mathbb{F}}_p,t)=\exp(\sum_{k=1}^\infty \frac{p^{2k}}{k} t^k)=\frac{1}{1-p^2t}$$

となる。

問題 14.6   $n=123556429$ とするとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ での $2^n$ の値を 計算せよ。また、$n$ は素数といえるかどうか、判定しなさい。 計算は全部を載せる必要はないが、どのような方法を採ったかは 明記すること。

(答え)

MuPAD の powermod 関数をつかえば簡単であった。答えは $84299180$ である。 したがって、フェルマの小定理の対偶により, $n$ は素数でないことがわかる。 念のためにいっておくと, $2^n=2$ だからと言って、$n$ が 素数であるとは限らない。

powermod なんぞ知らぬという人のほうが多いであろう。 次の等式を何度も使えばよい。

$$a b^{n}=(ab^\epsilon) (b^2)^{[n/2]}$$

ここで $[\bullet]$ はガウス記号, $\epsilon=n-2[n/2]$ ($n$ を $2$ でわったあまり) である。 計算回数は $\log n$ に比例して、$n$ 回かけ算するのとは比較にならないぐらい速い。

いずれにせよ、計算機を活用しないと面倒な問題であった。