代数学II 試験問題

試験の注意：

他人の迷惑になるものを除いては、何でも持ち込み可である。

電卓、コンピュータ等があったほうが簡単な問題も あり得るので、そのようなものを持ち込んでも構わない。

次のうち一問以上をしっかり解け。

問題 14.1   写像 ${\mathbb{F}}_p \ni x \mapsto x^k-x^2 \in {\mathbb{F}}_p$ が定値写像 ${\mathbb{F}}_p \ni x \mapsto 0 \in {\mathbb{F}}_p$ と等しくなるための $k,p$ の条件を 求めなさい。 (わからない場合には $k,p$ のできるだけ多くの組みに対して二つの写像が 等しいかどうか判定せよ。)

問題 14.2   体 $K$ の2つの元 $x,y$ が、 $x^2+y^2=0$ を満たすとき、$x=0$ かつ $y=0$ と いえるだろうか。いえるならば証明をつけ、いえないならば反例を 3つ以上あげなさい。($K$ の標数が 0 の場合と 0 でない場合の両方について 議論すること.)

問題 14.3   ${\mathbb{F}}_5$ 上の多項式 $X^2+X-1$ の根を $\alpha$ とおく時、 ${\mathbb{F}}_{5}[\alpha]$ の多項式 $X^6-1$ を一次式の積に分解しなさい。

問題 14.4   奇素数 $p$ が与えられているとするとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の2変数の方程式系 $V_1=V((X^2-2Y^2-1)(Y-2))$ の合同ゼータ関数 $Z(V_1/{\mathbb{F}}_p,t)$ を求めよ。

問題 14.5   奇素数 $p$ が与えられているとするとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の3変数の方程式系 $V_2=V((X^2+Y^2-Z^2)$ の合同ゼータ関数 $Z(V_2/{\mathbb{F}}_p,t)$ を求めよ。

問題 14.6   $n=123556429$ とするとき、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ での $2^n$ の値を 計算せよ。また、$n$ は素数といえるかどうか、判定しなさい。 計算は全部を載せる必要はないが、どのような方法を採ったかは 明記すること。