代数学特論 II 要約 NO.2

今日のテーマ:

行列の弱固有空間次のことは予備知識として知っているものと仮定する。

定理 2.1. ℂ は代数的閉体である。すなわち、 ℂ 上の 1 変数多項式 (つまり、 ℂ[X] の元) で、定数でないものは必ず少なくとも一つの根をもつ。系 2.1. ℂ[X] の元で、定数でないものは必ず一次式の積に分解できる。

さて、 n 次の正方行列 A ∈ M_{n}(ℂ) に対して、

E, A, A^{2}, A^{3}, …, A^{n^{2}}

は必ず一次従属であるから、補題 2.1. モニックな ℂ[X] \ ℂ の元 f(X) で、

f(A) = 0

を満たすものが必ず存在する。

ということが分かる。このような f のうち、次数の最小なものを A の最小多項式と呼ぶ。本講義では、しばらく A の最小多項式のことを μ_{A}(X) と書くことにしよう。

μ_{A}(X) = (X − λ_{1})^{e_{1}}(X − λ_{2})^{e_{2}} … (X − λ_{s})^{e_{s}}

(λ_{1}, …, λ_{s} は相異なる μ_{A} の根で、 e_{1}, …, e_{s} はそれぞれの重複度) と因数分解することができる。命題 2.2. ℂ^{n} を、 (A − λ_{i})^{e_{i}} = 0 を満たすような部分空間 V_{i} の直和に分解することができる。すなわち、

V_{i} = {v ∈ ℂ^{n}; (A − λ_{i})^{e_{i}}v = 0}

なる式で V_{i} を定義すると、

ℂ^{n} = ⊕_{i=1}^{s}V_{i}

と ℂ^{n} は V_{i} の直和に分解される。命題 2.3. 次のような ℂ[X] の元 p_{1}, p_{2}, …, p_{s} が存在する。 (具体的に λ_{1}, λ_{s}, e_{1}, e_{2}, …, e_{s} から計算可能である。 )

(1) p_{1}(A) + p_{2}(A) + … p_{s}(A) = 1 (2)

p_{i}(A)p_{j}(A) = \begin{cases}p_{i}(A) & (i = j のとき) \\ 0 & (i ≠ j のとき) \end{cases}

(3) p_{i}(A)ℂ^{n} = V_{i} 定義 2.1. V_{i} のことを A の λ_{i} に属する弱固有空間という。問題 2.1. 7 次正方行列

A = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ & & 2 & 1 \\ & & 0 & 2 \\ & & & & 3 & 1 & 0 \\ & & & & 0 & 3 & 1 \\ & & & & 0 & 0 & 3 \end{matrix})

(書いていない成分は全て 0 ) に対して、命題 2.3 を満たす p_{1}, p_{2}, …, p_{s} を具体的に求めよ。さらに、 p_{1}(A), p_{2}(A), …, p_{s}(A) を求めよ。