代数学特論II 要約 No.2

今日のテーマ:

次のことは予備知識として知っているものと仮定する。

定理 2.1   ${\mathbb{C}}$ は代数的閉体である。すなわち、 ${\mathbb{C}}$ 上の1変数多項式 (つまり、 ${\mathbb{C}}[X]$ の元)で、定数でないもの は必ず少なくとも一つの根をもつ。

系 2.1   ${\mathbb{C}}[X]$ の元で、定数でないものは必ず一次式の積に分解できる。

さて、$n$ 次の正方行列 $A \in M_n({\mathbb{C}})$ に対して、

$$E,A,A^2,A^3,\dots, A^{n^2}$$

は必ず一次従属であるから、

補題 2.1   モニックな ${\mathbb{C}}[X]\setminus {\mathbb{C}}$ の元 $f(X)$ で、

$$f(A)=0$$

を満たすものが必ず存在する。

ということが分かる。このような $f$ のうち、次数の 最小なものを $A$ の最小多項式と呼ぶ。本講義では、 しばらく $A$ の最小多項式のことを $\mu_A(X)$ と書くことにしよう。

$$\mu_A(X)=(X-\lambda_1)^{e_1} (X-\lambda_2)^{e_2}\dots (X-\lambda_s)^{e_s}$$

( $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ は相異なる $\mu_A$ の根で、 $e_1,\dots, e_s$ は それぞれの重複度)と因数分解することができる。

命題 2.2   ${\mathbb{C}}^n$ を、 $(A-\lambda_i)^{e_i}=0$ を満たすような部分空間 $V_i$ の直和に 分解することができる。すなわち、

$$V_i=\{v\in {\mathbb{C}}^n; (A-\lambda_i)^{e_i} v=0\}$$

なる式で $V_i$ を定義すると、

$${\mathbb{C}}^n=\oplus_{i=1}^s V_i$$

と ${\mathbb{C}}^n$ は $V_i$ の直和に分解される。

命題 2.3   次のような ${\mathbb{C}}[X]$ の元 $p_1,p_2,\dots,p_s$ が存在する。 (具体的に $\lambda_1,\lambda_s,e_1,e_2,\dots,e_s$ から計算可能である。)

1. $p_1(A)+p_2(A)+\dots p_s(A)=1$

2. $$% latex2html id marker 864p_i (A) p_j(A)= \begin{cases} p_... ...=j \text{ のとき}) \\ 0 & (i\neq j \text{ のとき}) \end{cases}$$

3. $p_i(A) {\mathbb{C}}^n =V_i$

定義 2.1   $V_i$ のことを $A$ の $\lambda_i$ に属する弱固有空間という。

問題 2.1   $7$ 次正方行列

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ & & 2 & 1 \\ & & 0& 2 & \\ &&&& 3 & 1 & 0\\ &&&& 0& 3 & 1 \\ &&&& 0 & 0& 3 \end{pmatrix}$$

(書いていない成分は全て 0 )に対して、命題 2.3を満たす $p_1,p_2,\dots,p_s$ を具体的に 求めよ。さらに、 $p_1(A),p_2(A),\dots,p_s(A)$ を求めよ。