代数学特論 II 要約 NO.3

今日のテーマ:

行列の単因子前回の流れから行くと、行列 A をまず弱固有空間ごとに分けて考えて、それぞれの部

分で A の標準型を考えるのが自然であるのだが、若干見方をかえて加群の理論から話を進めよう。 n 次正方行列 A ∈ M_{n}(ℂ) が与えられているとする。 A は

V = ℂ^{n} = ℂe_{1} + ℂe_{2} + ℂe_{3} + … ℂe_{n}

に作用する。但し、ここに、 e_{i} は基本ベクトルである。 V には、多項式環 ℂ[X] が、

X.v = Av ( 一般に p(X).v = p(A)v)

(右辺は行列とベクトルのかけ算) として作用している。ドット (.) に注意。作用を考えるときにはいつでもこのドットをつける。

さて、 V の成分を多項式に拡張して、

F_{0} = ℂ[X]^{n} = {(a_{1}(X) ; a_{2}(X) ; a_{3}(X) ; ⋮ ; a_{n}(X)); a_{i}(X) ∈ ℂ[X] (i = 1, 2, …, n)}

というのを考えよう。 F_{0} の元^{t}(a_{1}(X), a_{2}(X), …, a_{n}(X)) というのは形式的に

(a_{1}(X) ; a_{2}(X) ; a_{3}(X) ; ⋮ ; a_{n}(X)) = a_{1}(X)e_{1} + a_{2}(X)e_{2} + a_{3}(X)e_{3} + ⋯ + a_{n}(X)e_{n}

と書くこともできる。こっちのほうはドットがつかないことに注意。ドットや、行列の積との区別を強調するために、こちらのほうのことを

(a_{1}(X) ; a_{2}(X) ; a_{3}(X) ; ⋮ ; a_{n}(X)) = a_{1}(X) ⊗ e_{1} + a_{2}(X) ⊗ e_{2} + a_{3}(X) ⊗ e_{3} + ⋯ + a_{n}(X) ⊗ e_{n}

と書くこともある。 (⊗ はテンソル記号と呼ばれる。 )

テンソル記号をドットに置き換える操作を ϕ と書こう。すなわち、 ϕ : F_{0} → V を

ϕ(a_{1}(X) ⊗ e_{1} + a_{2}(X) ⊗ e_{2} + a_{3}(X) ⊗ e_{3} + ⋯ + a_{n}(X) ⊗ e_{n})
=a_{1}(X).e_{1} + a_{2}(X).e_{2} + a_{3}(X).e_{3} + ⋯ + a_{n}(X).e_{n}
=a_{1}(A)e_{1} + a_{2}(A)e_{2} + a_{3}(A)e_{3} + ⋯ + a_{n}(A)e_{n}

で定義する。

ϕ は線型写像で、全射であることはすぐに分かる。 ϕ の核は、次のような線型写像の像と一致する。

ψ : F_{1} = ℂ[X]^{n} ∋ L ↦ (XE − A)L ∈ ℂ[X]^{n} = F_{0}

ψ を F_{1} と F_{0} の基底を取り換えることによって、できるだけやさしい表示にすること、これがポイントである。実は、 XE − A のような特殊な元に限らず、そのようなやさしい表示がある。

すなわち、 ℂ[X] ではユークリッド除法（余りを許した割り算) ができることから、「掃き出し法」が使えて、次のような命題が成り立つ。

命題 3.1. M_{n}(ℂ[X]) の元 B に対して、 ℂ[X] の元を成分にもつ行列 P, Q で、 det(P) = 1, det(Q) = 1 を満たし、

P BQ = (\begin{matrix}d_{1}(X) \\ & d_{2}(X) \\ & & d_{3}(X) \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & d_{r}(X) \\ & & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & 0 \end{matrix})

(ただし d_{1}(X)|d_{2}(X)|d_{3}(X)| … |d_{s}(X)) という形にできるものが存在する。

上の d_{1}(X), d_{2}(X), d_{3}(X), …, d_{s}(X) は B の単因子と呼ばれる。

上の P, Q はそれぞれ次のような「基本変形」を具体的に表現するような行列の積である。

(1) P ...(行変形) B のある行の多項式倍を B の別の行に加える。

(2) Q ...(列変形) B のある列の多項式倍を B の別の列に加える。この続きは次回にまわす。

問題 3.1. ℂ[X] の元を成分にもつ 3 次の正方行列

B = (\begin{matrix}X & 1 & 0 \\ 0 & X^{2} & 1 \\ 0 & 0 & X^{3} \end{matrix})

に対して、命題 3.1 を満たす d_{1}, d_{2}, …, d_{r} および P, Q を具体的に求めなさい。