代数学特論 II 要約 NO.5

今日のテーマ:

行列のジョルダン標準型 (まとめ)

n 次正方行列 A ∈ M_{n}(ℂ) が与えられているとする。 A は

V = ℂ^{n} = ℂe_{1} + ℂe_{2} + ℂe_{3} + … ℂe_{n}

に作用し、 ℂ[X] の V への作用を

X.v = Av (p(X).v = p(A).v)

で定義することができる。和とスカラー倍に併せて、 X による作用も考えると、 (単因子の考え方を用いて) V の生成元と関係式を簡単化することができる。

定理 5.1 (定理 4.1 を再掲). V は ℂ[X]-加群として ℂ[X]/d(X)ℂ[X] の形の加群の直和と同型である。

とくに、巾零行列の表現空間は、 ℂ[X]/X^{k}ℂ[X] の形の加群の直和に分解される。

単因子の計算法は、第 3 回に述べたが、その時には比較的単純な行列しか例に挙げなかった。本当は事情はもう少し複雑である。 (ユークリッドの互除法が必要になる。 ) レポート問題を参照のこと。

ℂ[X]/d(X)ℂ[X] の部分が気になるかも知れない。この部分は (先週の関数の設計のところにも書いた) d(X) の根による関数の分解をうまく用いる。

命題 5.2. d_{1}(X), d_{2}(X) は互いに素な ℂ 上の多項式であるとする。このとき、 ℂ[X]-加群としての同型

ℂ[X]/d_{1}(X)d_{2}(X) ≅ ℂ[X]/d_{1}(X) ⊕ ℂ[X]/d_{2}(X)

が存在する。 (但し右辺への ℂ[X] の作用は対角型

f.(g, h) = (f.g, f.h)

で定まっているものとする。 )

定理 5.3 (行列のジョルダンの標準型). 任意の行列 A ∈ M_{n}(ℂ) に対して、ある正則行列 P ∈ M_{n}(ℂ) があって、 B = P AP^{−1} は次のような形の行列 (ジョルダンブロックと呼ばれる) の直和 (対角に並んだ形) に等しくなる。

J_{s}(a) = (\begin{matrix}a & 1 \\ & a & 1 \\ & & ... & ... \\ & & & a & 1 \\ & & & & a \end{matrix})

ここに、 s は n 以下の整数、 a は複素数 (A の固有値の一つ) である。 B を A のジョルダンの標準型という J_{1}(a) = a であることにも注意しておこう。 A が対角化可能ならば、 A を対角化したものが A のジョルダンの標準型である。

ジョルダンブロックの形の行列は J_{s}(a) = aE + N_{s} (N_{s} は巾零行列) の形をしていることにも、特に注意しておこう。とくに、任意の多項式 p(X) にたいして、

p(J_{s}(a)) = ∑_{j=0}^{s} \frac{1}{j!}p^{(j)}(a)N_{s}^{j}

がなりたつ。とくに、 p(J_{s}(a)) は p の a での s 階までの微分の値により完全に決まる。 A のほうで言えば、 A の固有値全体の集合を S とおけば、 p(A) は p の S での (多く見積もっても n 階までの) 各階の導関数の値によって完全に決まってしまう。

これは行列を exp(X) や sin(X) などの整関数 (全複素平面で正則な関数) やもっと一般に A の固有値の近傍で正則な関数に代入するときのヒントになる。

問題 5.1. f = X^{3} − 8X^{2} + 21X − 18, g = X^{2} − 2X のとき、

B = (\begin{matrix}f & 0 \\ g & 0 \end{matrix})

にたいして命題 3.1 を満たす P, Q および P BQ を求めなさい。