代数学特論 II 要約 NO.7

今日のテーマ:

既存の環に元を付け加えてできる環

定義 7.1. 環 R にあらたな元 x を付け加えてできた環を R[x] と書く。

付け加えるとはどういう意味だろうか。大きく分けて二つの場合が考えられる。 • R が大きな環 S の部分環で、 x は R の元である場合。

• とにかく抽象的な元 x を考えて、それが R 上適当な関係式を満たすとして付け加

える場合。前者の場合には、「R[x] は、 R の元と、 x とを加減乗除によってうまく組み合わせて

作ったものの全体のなす環」と考えればよい。後者の場合には、具体的に R[x] を構成する必要がある。 ( この場合には、 x の関係式を別途記述する必要があるため、 R[x] という記号だけでは通常不十分である。 )

補題 7.1. モニックな R[X] の元 f に対して、 R_{1} = R[X]/f(X)R[X] は環になり、 R_{1} は R に f の根を一つ付け加えたものになっている。

補題 7.2. モニックな R[X] の元 f に対して、 R_{1} = R[X]/f(X)R[X] を R 上の行列環の部分環として実現することができる。

具体的な環に具体的な元を付け加えるような場合でも、一旦上のテクニックを駆使することにより、環の理解を増すことができる場合がある。

例 7.1. ℂ のなかで、 ℂ 自身は ℝ に\sqrt{−1} を付け加えた環と考えることができるが、これは ℝ[X]/(X^{2} + 1)ℝ[X] とも、

\{(\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}); a, b ∈ ℝ\}

とも環としては同じ (同型) である。

例 7.2. ℂ のなかで、 ℚ に\sqrt{2} を付け加えた環 ℚ[\sqrt{2}] を考えることができる。これは ℚ[X]/(X^{2} − 2)ℚ[X] とも、

\{(\begin{matrix}a & 2b \\ b & a \end{matrix}); a, b ∈ ℝ\}

とも環としては同じ (同型) である。

命題 7.1. 体 K 上のモニックな多項式 f(X) が K 上既約ならば、 K[X]/f(X)K[X] は体になる。逆も成り立つ。

問題 7.1. ℚ[\sqrt[3]{2}] を行列環の部分環として実現せよ。