代数学特論II 要約 No.7

今日のテーマ:

定義 7.1   環 $R$ にあらたな元 $x$ を付け加えてできた環を $R[x]$ と書く。

付け加えるとはどういう意味だろうか。 大きく分けて二つの場合が考えられる。

• $R$ が大きな環 $S$ の部分環で、$x$ は $R$ の元である場合。
• とにかく抽象的な元 $x$ を考えて、それが $R$ 上適当な関係式を 満たすとして付け加える場合。

前者の場合には、「$R[x]$ は、$R$ の元と、$x$ とを 加減乗除によってうまく組み合わせて作ったものの全体のなす環」 と考えればよい。 後者の場合には、具体的に $R[x]$ を構成する必要がある。( この場合には、$x$ の関係式を別途記述する必要があるため、 $R[x]$ という記号だけでは 通常不十分である。)

補題 7.1   モニックな $R[X]$ の元 $f$ に対して、 $R_1=R[X]/f(X)R[X]$ は環になり、$R_1$ は $R$ に $f$ の根を一つ付け加えたもの になっている。

補題 7.2   モニックな $R[X]$ の元 $f$ に対して、 $R_1=R[X]/f(X)R[X]$ を $R$ 上の行列環の部分環として実現することができる。

具体的な環に具体的な元を付け加えるような場合でも、一旦上のテクニックを 駆使することにより、環の理解を増すことができる場合がある。

例 7.1   ${\mathbb{C}}$ のなかで、 ${\mathbb{C}}$ 自身は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に $\sqrt{-1}$ を付け加えた環と 考えることができるが、これは $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]/(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ とも、

$$\left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}; a,b \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

とも環としては同じ(同型)である。

例 7.2   ${\mathbb{C}}$ のなかで、 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ に $\sqrt{2}$ を付け加えた環 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt{2}]$ を 考えることができる。これは $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ とも、

$$\left\{ \begin{pmatrix} a & 2 b \\ b & a \end{pmatrix}; a,b \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

とも環としては同じ(同型)である。

命題 7.1   体 $K$ 上のモニックな多項式 $f(X)$ が $K$ 上既約ならば、 $K[X]/f(X) K[X]$ は体になる。逆も成り立つ。

問題 7.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\sqrt[3]{2}]$ を行列環の部分環として実現せよ。