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代数学特論II 要約 No.8

今日のテーマ:

\fbox{ユークリッドの互除法の簡単な復習}

例題 8.1 (ユークリッドの互除法)   等式

$\displaystyle 72l+56m=8
$

を満たす整数 $ l,m$ の組を一組求めよ。

(解答) まず次のような計算を行なう

  $\displaystyle 72$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 56$ $\displaystyle = 1$    余り  % latex2html id marker 722
$\displaystyle 16 \qquad\qquad$ $\displaystyle 72=$ $\displaystyle 56$ $\displaystyle \times 1 +$ $\displaystyle 16$ % latex2html id marker 727
$\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}72\\ 56 \e...
...\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}56\\ 16 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle 56$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 16$ $\displaystyle = 3$    余り  % latex2html id marker 732
$\displaystyle 8 \qquad\qquad$ $\displaystyle 56=$ $\displaystyle 16$ $\displaystyle \times 3 +$ $\displaystyle 8$ % latex2html id marker 737
$\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}56\\ 16 \e...
... \begin{pmatrix}3 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}16\\ 8 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle 16$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle = 2$    余り  % latex2html id marker 742
$\displaystyle 0 \qquad\qquad$ $\displaystyle 16=$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle \times 2 +$ 0 % latex2html id marker 746
$\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}16\\ 8 \en...
...= \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}8\\ 0 \end{pmatrix}$    

各々の行の行列算を組み合わせると、

$\displaystyle \begin{pmatrix}
72\\
56
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
...
...egin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
8 \\
0
\end{pmatrix}$

を得る。この式の右辺に現れる正方行列はすべて $ M_2({\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ の元として 可逆であることに注意して、上の式を次のように変形することが出来る。

$\displaystyle \begin{pmatrix}8 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}...
...n{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}72\\ 56 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & ...
...gin{pmatrix}-3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}72 \\ 56 \end{pmatrix}$    

この式の第一行に着目すると、 $ 8=(-3)\times 72+ 4\times 56
$ を得る。

(答え)     $ l=-3,m=4$.

この手法は一変数多項式環でも同様に使える。

問題 8.1   $ {\mathbb{C}}[X]$ の元 $ p(X)=X^{15}-1$ % latex2html id marker 764
$ q(X)=X^{10}-1$ に対して、 % latex2html id marker 766
$ p,q$ の最大公約数 $ d(X)$ をもとめ、さらに

% latex2html id marker 770
$\displaystyle l(X) p(X)+m(X) q(X)=d(X)
$

を満たす $ l,m$ を求めよ。


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平成15年11月24日