代数学特論 II 要約 NO.9

今日のテーマ:

定数係数線型微分方程式十分大きな関数空間 (例えば ℝ 上の複素数値 C^{∞}-関数の全体) を一つ固定して、 ℱ と

書こう。次のような微分方程式を解きたい。

(∂_{x}^{2} − 3∂_{x} + 2)f = 0

(∂_{x} とは ∂/∂x のこと。以下同様) この方程式は ∂_{x} という ℱ 上の線型作用素が、解の空間 M 上満たす関係式と考えることができる。 M は実際は ℂ 上有限次元であって、今までの線型代数の知識を活用することができる。

M には ∂_{x} が作用していて、 M は ∂_{x} の 1, 2 という二つの固有値により固有分解される。

M = ℂ exp(x) + ℂ exp(2x)

exp(x), exp(2x) が固有ベクトルである。

同様に

(∂_{x}^{2} − 2∂_{x} + 1)f = 0

についても線型代数的な解釈ができる。今度は解空間上 ∂_{x} の固有値が重複して出てくるところに注意が必要である。

高階の方程式、例えば

(∂_{x}^{3} − ∂_{x}^{2} − ∂_{x} + 1)f = 0

でも事情は同じである。

問題 9.1. 微分方程式

(∂_{x}^{3} − 2∂_{x}^{2} − 4∂_{x} + 8)f = 0

を解け。