代数学特論II 要約 No.9

今日のテーマ:

十分大きな関数空間(例えば $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の複素数値 $C^\infty$-関数の全体)を 一つ固定して、 $\mathcal F$ と書こう。次のような微分方程式を解きたい。

$$(\partial_x^2 -3 \partial_x +2 ) f=0$$

( $\partial_x$ とは $\partial/\partial x$ のこと。以下同様) この方程式は $\partial_x$ という $\mathcal F$ 上の線型作用素が、 解の空間 $M$ 上満たす関係式と考えることができる。 $M$ は実際は ${\mathbb{C}}$ 上有限次元であって、今までの線型代数の知識を 活用することができる。

$M$ には $\partial_x$ が作用していて、$M$ は $\partial_x$ の $1,2$ という二つの 固有値により固有分解される。

$$M={\mathbb{C}}\exp(x) +{\mathbb{C}}\exp(2 x)$$

$\exp(x),\exp(2 x)$ が固有ベクトルである。

同様に

$$(\partial_x^2 -2 \partial_x +1 ) f=0$$

についても線型代数的な解釈ができる。 今度は解空間上 $\partial_x$ の固有値が重複して出てくるところに注意が必要である。

高階の方程式、例えば

$$(\partial_x^3 - \partial_x^2 - \partial_x + 1)f =0$$

でも事情は同じである。

問題 9.1   微分方程式

$$(\partial_x^3 - 2 \partial_x^2 - 4 \partial_x + 8)f=0$$

を解け。