代数学特論 II 要約 NO.10

今日のテーマ:

形式的べき級数環とその上の微分作用素先週は、「十分大きな関数空間」 ℱ を考えると言ったが、これでは大きすぎるというこ

ともあるし、もっと具体的な形が知りたいこともある。そこで、次のような空間を用意しよう。

ℂ[[x]] = {∑_{i=0}^{∞} a_{i}x^{i}; a_{i} ∈ ℂ}

補題 10.1. ℂ[[x]] は環をなす。 (この環を形式的べき級数環と呼ぶ。 )

但し、この講義では専ら ℂ[[x]] の ℂ-ベクトル空間としての構造に注目し、積に着目することは少ない。

さらに、 ℂ[[x]] 上には x 倍と ∂_{x} がともに作用している。 ℂ[[x]] の元は 1, x, x^{2}, x^{3}, …, x^{n}, … の無限和であり、したがって {1, x, x^{2}, x^{3}, …, x^{n} … } は ℂ[[x]] の「基底」に近い扱いをすることができる。 (正確には、「基底」という場合にはどんな元も有限和で書けなければならないので、ここで言うのは「位相ベクトル空間としての基底」と呼ばれるものである。 )

補題 10.2. x 倍 m_{x}、および微分 ∂_{x} は次のような (無限) 行列で表現できる。

(\begin{matrix}0 \\ 1 & 0 \\ & 1 & 0 \\ & & 1 & 0 \\ & & & ... & ... \end{matrix}) ,  (\begin{matrix}0 & 1 \\ & 0 & 2 \\ & & 0 & 3 \\ & & & 0 & 4 \\ & & & & ... & ... \end{matrix})

線型常微分方程式を解くとは、この二つの行列やそれらを組み合わせてできる行列の核の性質を調べていることだともいえる。これら二つの行列は可換でないことにも注意しておこう。

補題 10.3. m_{x}, ∂_{x} には次のような関係式がある。

∂_{x}m_{x} − m_{x}∂_{x} = 1

形式的べき級数環の元の範囲で微分方程式を求めるには、係数をイモヅル式に求めていくのが有効である場合が多い。例えば、 ∂_{x}f − f = 0 なる f ∈ ℂ[[x]] を求めるには、 f = ∑_{i} a_{i}x^{i} と書いて、

a_{i+i} = \frac{a_{i}}{i + 1}

なる漸化式に持ち込むのである。

問題 10.1. (1 − m_{x})∂_{x} を表現する行列を書き、

(1 − m_{x})∂_{x}f = 1

を満たす f ∈ ℂ[[x]] を求めよ。

2 代数学特論 II 要約 NO.10

問題 10.2. n × n-行列 A, B で、

BA − AB = 1

を満たすものは存在しないことを示しなさい。