代数学特論II 要約 No.10

今日のテーマ:

先週は、「十分大きな関数空間」 $\mathcal F$ を考えると言ったが、 これでは大きすぎるということもあるし、もっと具体的な形が知りたいこともある。 そこで、次のような空間を用意しよう。

$${\mathbb{C}}[[x]]=\{ \sum_{i=0}^\infty a_i x^i ; a_i \in {\mathbb{C}} \}$$

補題 10.1   ${\mathbb{C}}[[x]]$ は環をなす。(この環を形式的べき級数環と呼ぶ。)

但し、この講義では専ら ${\mathbb{C}}[[x]]$ の ${\mathbb{C}}$-ベクトル空間としての 構造に注目し、積に着目することは少ない。

さらに、 ${\mathbb{C}}[[x]]$ 上には $x$ 倍と $\partial_x$ がともに作用している。 ${\mathbb{C}}[[x]]$ の元は $1,x,x^2,x^3,\dots, x^n,\dots$ の無限和であり、 したがって $\{1,x,x^2,x^3,\dots,x^n\dots \}$ は ${\mathbb{C}}[[x]]$ の 「基底」に近い扱いをすることができる。(正確には、「基底」という場合には どんな元も有限和で書けなければならないので、ここで言うのは「位相ベクトル空間 としての基底」と呼ばれるものである。)

補題 10.2   $x$倍 $m_x$、および微分 $\partial_x$ は 次のような(無限)行列で表現できる。

$$\begin{pmatrix} 0 & & & & \\ 1 & 0 & ... ...& \\ & & 0 & 3& & \\ & & & 0& 4& \\ & & & & \ddots & \ddots\\ \end{pmatrix}$$

線型常微分方程式を解くとは、 この二つの行列やそれらを組み合わせてできる行列の 核の性質を調べていることだともいえる。 これら二つの行列は可換でないことにも注意しておこう。

補題 10.3   $m_x$, $\partial_x$ には次のような関係式がある。

$$\partial_x m_x -m_x \partial_x =1$$

形式的べき級数環の元の範囲で微分方程式を求めるには、係数を イモヅル式に求めていくのが有効である場合が多い。 例えば、 $\partial_x f -f=0$ なる $f \in {\mathbb{C}}[[x]]$ を求めるには、 $f=\sum_i a_i x^i$ と書いて、

$$a_{i+i}=\frac{a_i}{i+1}$$

なる漸化式に持ち込むのである。

問題 10.1   $(1-m_x)\partial_x$ を表現する行列を書き、

$$(1-m_x)\partial_x f=1$$

を満たす $f \in {\mathbb{C}}[[x]]$ を求めよ。

問題 10.2   $n\times n$-行列 $A,B$ で、

$$BA -AB=1$$

を満たすものは存在しないことを示しなさい。