代数学特論 II 要約 NO.11

今日のテーマ:

環と加群の復習・加群の準同型代数学 II で、次のような議論を展開した。

(あ) 複素数を成分にもつような n × n-行列 A が与えられたとき、 V = ℂ^{n} への不定元 X の作用を

X.v = Av

で定めることができる。

他方、微分方程式を扱うときには次のような話が出てくる。

(い) ℱ = C^{∞}(ℝ) ないし ℂ[[x]] 上に、 m_{x}, ∂_{x} の作用を定めることができる。

(あ) の話では X の作用のみならず、 X^{2}, X^{3}, … およびその和 (複素係数の線型結合)、すなわち X の多項式の作用を考えるのがよいのであった。多項式一つ一つも大事であるけれども、それらを全部残らずまとめて箱に入れたもの (集合) を考えるのが更に有効である。これが多項式環 ℂ[X] で、これは一種の「道具箱」を考えているようなものである。

同様にして、 m_{x}, ∂_{x} で生成される環 𝒟 を準備しておいて、 C^{∞}(ℝ) ないし ℂ[[X]] を 𝒟-加群とみなす。これにより (線型) 微分方程式を環加群の枠組で考えることができるようになる。

定義 11.1 (復習). R (正確には、 (R, +, ×) ) が環 (単位元をもつ結合環) であるとは、次のような条件が満たされるときに言う。

(1) R は加減乗算について閉じている。

(2) (R, +) は加法群である。

(3) 乗法は結合律をみたし、かつ単位元 1 をもつ。

(4) 加法と乗法の間に分配律が成り立つ。

定義 11.2 (復習). R は環であるとする。 M が R-加群であるとは、つぎの性質を満たすときに言う。

(1) R の各元 r と、 M の各元 m とにたいして、 r の m の作用 r.m ∈ M が定義されている。

(2) (M, +) は加法群である。

(3) (r_{1}r_{2}).m = r_{1}.(r_{2}.m) , 1.m = m (r_{1}, r_{2} ∈ R, m ∈ M)

(4) (r_{1}+r_{2}).m = r_{1}.m+r_{2}.m, r.(m_{1}+m_{2}) = r.m_{1}+r.m_{2} (r_{1}, r_{2} ∈ R, m, m_{1}, m_{2} ∈ M)

定義 11.3. R-加群 M, N があったとする。 M から N への写像 φ が R-準同型であるとは、 φ が次の条件を満たすときに言う。

(1) φ は加法を保つ。すなわち、 φ(m_{1} + m_{2}) = φ(m_{1}) + φ(m_{2}) が全ての m_{1}, m_{2} ∈ M に対して成り立つ。

(2) φ は R の作用を保つ。すなわち、 φ(r.m) = r.φ(m) がすべての r ∈ R, m ∈ M に対して成り立つ。

R-準同型の定義は、線型写像の定義と瓜二つであることに注意しよう。実際、 R が可換体であるときには、上の定義は線型写像の定義そのものである。線型写像の場合と同様に、その核と像を定義することができる。ただし、 R が体でない場合、特に非可換環の場合には、 R-準同型は線型写像とはかなりおもむきが異なる。例をいくつか挙げよう。

例 11.1. φ : 𝒟 → ℂ[[x]] を φ(P) = P.1 で定めると、 φ は 𝒟-準同型である。 φ の核は 𝒟∂ であり、像は ℂ[x] である。

例 11.2. φ : 𝒟 → ℂ[[x]] を φ(P) = P.x で定めると、 φ は 𝒟-準同型である。 φ の核は 𝒟∂^{2} + 𝒟(x∂ − 1) であり、像は ℂ[x] である。

例 11.3. φ : 𝒟 → ℂ[[x]] を φ(P) = P. exp(x) で定めると、 φ は 𝒟-準同型である。 φ の核は 𝒟(∂ − 1) であり、像は ℂ[x] exp(x) である。

問題 11.1. φ : 𝒟 → ℂ[[x]] を φ(P) = P. sin(x) で定めるとき、 φ の核と像を求めよ。