代数学特論II 要約 No.11

今日のテーマ:

代数学 II で、次のような議論を展開した。

(あ) 複素数を成分にもつような $n\times n$-行列 $A$ が与えられたとき、 $V={\mathbb{C}}^n$ への不定元 $X$ の作用を

$$X.v=A v$$

で定めることができる。

他方、微分方程式を扱うときには次のような話が出てくる。

(い) $\mathcal F= C^{\infty}($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ないし ${\mathbb{C}}[[x]]$ 上に、 $m_x ,\partial_x$ の作用を定めることができる。

(あ)の話では $X$ の作用のみならず、 $X^2,X^3,\dots$ およびその和(複素係数の 線型結合)、すなわち $X$ の多項式の作用を考えるのがよいのであった。 多項式一つ一つも大事であるけれども、それらを全部残らずまとめて 箱に入れたもの(集合)を考えるのが更に有効である。 これが多項式環 ${\mathbb{C}}[X]$ で、 これは一種の「道具箱」を考えているようなものである。

同様にして、 $m_x ,\partial_x$ で生成される環 $\mathcal D$ を準備しておいて、 $C^\infty($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ないし ${\mathbb{C}}[[X]]$ を $\mathcal D$-加群とみなす。これにより(線型)微分方程式を 環加群の枠組で考えることができるようになる。

定義 11.1 (復習)   $R$ (正確には、 $(R,+,\times)$ )が環(単位元をもつ結合環)であるとは、 次のような条件が満たされるときに言う。

1. $R$ は加減乗算について閉じている。
2. $(R,+)$ は加法群である。
3. 乗法は結合律をみたし、かつ単位元 $1$ をもつ。
4. 加法と乗法の間に分配律が成り立つ。

定義 11.2 (復習)   $R$ は環であるとする。$M$ が $R$-加群であるとは、 つぎの性質を満たすときに言う。

1. $R$ の各元 $r$ と、$M$ の各元 $m$ とにたいして、 $r$ の $m$ の作用 $r.m \in M$ が定義されている。
2. $(M,+)$ は加法群である。
3. $(r_1 r_2). m =r_1. (r_2. m)$ , $1.m=m$          ( $r_1,r_2\in R, \quad m\in M$)
4. $(r_1+r_2).m=r_1.m+r_2.m$, $r.(m_1+m_2)=r.m_1 +r.m_2$ ( $r_1,r_2\in R, \quad m, m_1,m_2\in M$)

定義 11.3   $R$-加群 $M,N$ があったとする。$M$ から $N$ への写像 $\varphi$ が $R$-準同型であるとは、$\varphi$ が次の条件を満たすときに言う。

1. $\varphi$ は加法を保つ。すなわち、 $\varphi(m_1+m_2)=\varphi(m_1)+\varphi(m_2)$ が全ての $m_1,m_2\in M$ に 対して成り立つ。
2. $\varphi$ は $R$ の作用を保つ。すなわち、 $\varphi(r. m)=r.\varphi(m)$ がすべての $r\in R , m \in M$ に対して 成り立つ。

$R$-準同型の定義は、線型写像の定義と瓜二つであることに注意しよう。 実際、$R$ が可換体であるときには、上の定義は線型写像の定義 そのものである。 線型写像の場合と同様に、その核と像を定義することができる。 ただし、$R$ が体でない場合、特に非可換環の場合には、$R$-準同型は 線型写像とはかなりおもむきが異なる。例をいくつか挙げよう。

例 11.1   $\varphi:\mathcal D \to {\mathbb{C}}[[x]]$ を $\varphi(P)=P.1$ で定めると、$\varphi$ は $\mathcal D$-準同型である。 $\varphi$ の核 は $\mathcal D \partial$ であり、 像は ${\mathbb{C}}[x]$ である。

例 11.2   $\varphi:\mathcal D \to {\mathbb{C}}[[x]]$ を $\varphi(P)=P.x$ で定めると、$\varphi$ は $\mathcal D$-準同型である。 $\varphi$ の核 は $\mathcal D \partial^2+\mathcal D (x\partial -1)$ で あり、 像は ${\mathbb{C}}[x]$ である。

例 11.3   $\varphi:\mathcal D \to {\mathbb{C}}[[x]]$ を $\varphi(P)=P.\exp(x)$ で定めると、$\varphi$ は $\mathcal D$-準同型である。 $\varphi$ の核 は $\mathcal D (\partial -1)$ で あり、 像は ${\mathbb{C}}[x]\exp(x)$ である。

問題 11.1   $\varphi:\mathcal D \to {\mathbb{C}}[[x]]$ を $\varphi(P)=P.\sin(x)$ で定めるとき、$\varphi$ の核と像を求めよ。