代数学特論 II 要約 NO.12

今日のテーマ:

生成元と関係式環 R 上の加群 M が、 x_{1}, x_{2}, …, x_{n} で生成されている (言い換えると、 x_{1}, x_{2}, …, x_{n} は

M の生成元である) とは、 x_{1}, …, x_{n} を含むような M の部分 R-加群が M 自身であるときにいう。生成元

補題 12.1. 環 R 上の加群 M があって、 x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ M が与えられているとき、 (1) R^{n} から M への R-準同形写像 ϕ が

ϕ(r_{1}, r_{2}, …, r_{n}) = r_{1}.x_{1} + r_{2}.x_{2} + ⋯ + r_{n}.x_{n}

によって定まる。

(2) M が x_{1}, x_{2}, …, x_{n} で生成されるための必要十分条件は、上の ϕ が全射であることである。

例 12.1. ℂ^{n} は ℂ-加群であって、基本ベクトル e_{1}, e_{2}, …, e_{n} で生成されている。もちろん、生成元の取り方は他にもいろいろある。

例 12.2. n × n 行列 A が与えられたとき、 V = ℂ^{n} には ℂ[X]-加群の構造が

X.v = Av (v ∈ V)

から定まったのであった。 V は ℂ[X] 上でももちろん e_{1}, e_{2}, …, e_{n} で生成されているが、もっとよい生成元を探すことが A の「標準型」を得る第一歩であった。

定義 12.1. 上の補題の状況で、 N = Ker(ϕ) は R^{n} の R-部分加群である。この N のことを x_{1}, x_{2}, …, x_{n} の関係式のなす加群と呼ぶ。

例 12.3. V = ℂ^{n} を ℂ-加群とみよう。 V の元をいくつかとって v_{1}, v_{2}, …, v_{m} とすると、これらは一般には線型独立とは限らない。

c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + ⋯ + c_{m}v_{m} = 0

なる (c_{1}, c_{2}, …, c_{m}) を集めた集合がこの場合の「関係式のなす加群」である。

例 12.4. 例 12.2 のように、 n 次の正方行列 A を固定して V = ℂ^{n} を ℂ[X]-加群とみよう。 e_{1}, e_{2}, … e_{n} の間には ℂ[X] 上自明でない関係式がたくさんある。それらを実際調べ、スミスの標準型を経由して A のジョルダンの標準型を得ることができるのであった。

𝒟-加群の場合には、関係式の問題は、「f_{1}, f_{2}, …, f_{n} はどのような微分方程式 (系) を満たすか」という問題とみることができる。レポート問題を参照のこと。

定義 12.2. ある環 R 上の加群 M_{1}, M_{2}, M_{3} および加群の準同型 ψ_{1} : M_{1} → M_{2} ψ_{2} : M_{2} → M_{3} が与えられているとき、

M_{1} →^{ψ_{1}} M_{2} →^{ψ_{2}} M_{3}

が完全系列 (exact sequence) であるとは、 Image ψ_{1} = Ker ψ_{2} が成り立つときにいう。

問題 12.1. sin(x), cos(x) ∈ ℂ[[x]] (原点でのテイラー展開を考えて) の 𝒟- 加群としての関係式の加群を求めよ。