代数学特論II 要約 No.12

今日のテーマ:

環 $R$ 上の加群 $M$ が、 $x_1,x_2,\dots,x_n$ で生成されている (言い換えると、 $x_1,x_2,\dots,x_n$ は $M$ の生成元である)とは、 $x_1,\dots,x_n$ を含むような $M$ の部分 $R$-加群が $M$ 自身であるときに いう。 生成元

補題 12.1   環 $R$ 上の加群 $M$ があって、 $x_1,x_2,\dots,x_n \in M$ が与えられているとき、

1. $R^n$ から $M$ への $R$-準同形写像 $\phi$ が
   $$\phi(r_1,r_2,\dots,r_n)= r_1.x_1+r_2.x_2+\dots+r_n.x_n$$
   によって定まる。
2. $M$ が $x_1,x_2,\dots,x_n$ で生成されるための必要十分条件は、 上の $\phi$ が全射であることである。

例 12.1   ${\mathbb{C}}^n$ は ${\mathbb{C}}$-加群であって、基本ベクトル $e_1,e_2,\dots,e_n$ で生成されている。 もちろん、生成元の取り方は他にもいろいろある。

例 12.2   $n\times n$ 行列 $A$ が与えられたとき、 $V={\mathbb{C}}^n$ には ${\mathbb{C}}[X]$-加群の構造が

$$X.v=A v \qquad (v\in V)$$

から定まったのであった。$V$ は ${\mathbb{C}}[X]$ 上でももちろん $e_1,e_2,\dots,e_n$ で生成されているが、もっとよい生成元を探すことが $A$ の「標準型」を得る第一歩であった。

定義 12.1   上の補題の状況で、 $N=\operatorname{Ker}(\phi)$ は $R^n$ の $R$-部分加群である。 この $N$ のことを $x_1,x_2,\dots,x_n$ の 関係式のなす加群と呼ぶ。

例 12.3   $V={\mathbb{C}}^n$ を ${\mathbb{C}}$-加群とみよう。$V$ の元をいくつかとって $v_1,v_2,\dots,v_m$ とすると、これらは一般には線型独立とは 限らない。

$$c_1 v_1+c_2 v_2 +\dots +c_m v_m =0$$

なる $(c_1,c_2,\dots,c_m)$ を集めた集合がこの場合の「関係式のなす加群」である。

例 12.4   例 12.2のように、 $n$ 次の正方行列 $A$ を固定して $V={\mathbb{C}}^n$ を ${\mathbb{C}}[X]$-加群とみよう。 $e_1,e_2,\dots e_n$ の間には ${\mathbb{C}}[X]$ 上自明でない関係式がたくさんある。 それらを実際調べ、スミスの標準型を経由して $A$ のジョルダンの標準型を 得ることができるのであった。

$\mathcal D$-加群の場合には、関係式の問題は、「 $f_1,f_2,\dots,f_n$ は どのような微分方程式(系)を満たすか」という問題とみることができる。 レポート問題を参照のこと。

定義 12.2   ある環 $R$ 上の加群 $M_1,M_2,M_3$ および加群の準同型 $\psi_1: M_1\to M_2$ $\psi_2: M_2\to M_3$ が与えられているとき、

$$M_1\overset{\psi_1}{\to} M_2 \overset{\psi_2}{\to} M_3$$

が完全系列(exact sequence)であるとは、 $\operatorname{Image}\psi_1=\operatorname{Ker}\psi_2$ が成り立つときにいう。

問題 12.1   $\sin(x), \cos(x)\in {\mathbb{C}}[[x]]$ (原点でのテイラー展開を考えて)の $\mathcal D$- 加群としての関係式の加群を求めよ。