S(1 2).(S(12) S(1234) 1 S((12)(34)) S(123))

=(S(12) S(1234) 1 S((12)(34)) S(123)) (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

A = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

とおくと、 A の特性多項式は、

T^{5} − 40T^{3} + 144T (= T (T − 6)(T − 2)(T + 2)(T + 6))

A^{2} = ( \begin{matrix}20 & 16 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 20 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 6 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 10 & 24 \\ 0 & 0 & 3 & 9 & 24 \end{matrix} )

A^{3} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 20 & 52 & 144 \\ 0 & 0 & 16 & 56 & 144 \\ 120 & 96 & 0 & 0 & 0 \\ 104 & 112 & 0 & 0 & 0 \\ 108 & 108 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

A^{4} = ( \begin{matrix}656 & 640 & 0 & 0 & 0 \\ 640 & 656 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 120 & 312 & 864 \\ 0 & 0 & 104 & 328 & 864 \\ 0 & 0 & 108 & 324 & 864 \end{matrix} )

S(12)^{2} = 6 + 2S((12)(34)) + 3S(123)

S(12)^{3} = 20S(12) + 16S(1234)

S(12)^{4} = 120 + 104S((12)(34)) + 108S(123)

S(12)^{5} = 656S(12) + 640S(1234)