代数学 II 要約 NO.2

今日のテーマ:

環の定義の復習・群環の定義

定義 2.1 (環の定義). (R, +, ×) が環であるとは、集合 R に足し算と呼ばれる写像

+ : R × R → R

と掛け算と呼ばれる写像

× : R × R → R

が定義されていて次の性質を満たす時に言う。 (1) R は足し算に関して可換群をなす。

(2) R の積は結合法則を満たす。

(3) R の足し算と掛け算は分配法則を満たす。

(4) R は積に関して単位元を持つ。

忘れた人は 2 回生の代数学の講義を復習して頂きたい。なお、本講義の参考書

「加群十話」堀田良之著 (朝倉書店)

は (余計なこともかいてあるので読みにくいかも知れないが) 面白く参考になるところも多い。

ℤ, ℚ, ℝ, ℂ はそれぞれ環である。一般に、環 R に対して、 R の元を成分にもつ n × n-行列全体のなす集合 M_{n}(R) も環である。

次のような例もある例 . 環 R が与えられているとする。 (例えば R = ℂ) R^{3} に次のような加法、乗法を定める。

(\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) + (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix}p + x \\ q + y \\ r + z \end{matrix}) ,  (\begin{matrix}p \\ q \\ r \end{matrix}) ∗ (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix}px + qz + ry \\ py + qx + rz \\ pz + qy + rx \end{matrix})

このとき、 (R^{3}, +, ∗) は環である。問題 2.1. R^{3} にベクトルの和 + とベクトル積 × を

(\begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix}) + (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix}p + x \\ q + y \\ r + z \end{matrix}) ,  (\begin{matrix}p \\ q \\ r \end{matrix}) × (\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix}qz − ry \\ rx − pz \\ py − qx \end{matrix})

このとき、 (R^{3}, +, ∗) は環であるといえるだろうか。

いつでも上のような調子でかけ算を決めていたのではたまらない。実は大抵の場合もっと分かりやすい積の定義があり得る。

上の例は実は C_{3} の群環と呼ばれるものと同じものになっている。定義 2.2. 有限群 G と、環 R が与えられているとする。 R 上の群環 R[G] とは、形式的な和の集合

{∑_{g∈G} c_{g}g; c_{g} ∈ R}

に次のような和と積を導入したものである。

∑_{g∈G} c_{g}g + ∑_{g∈G} d_{g}g = ∑_{g∈G}(c_{g} + d_{g})g

(∑_{g∈G} c_{g}g)(∑_{h∈G} d_{g}g) = ∑_{g,h∈G}(c_{g}d_{h})gh

R[G] の乗法は、次のように言った方が洒落ているし、簡潔でもある。

R[G] の乗法は、 R-双線形で、 R 基底 G のそれぞれに対してはその乗法は G の乗法と一致する。問題 2.2. G = 𝔖_{3} のとき、 R[G] の積を例のような R^{6} の積として具体的に成分であらわしなさい。