代数学 II 要約 NO.3

今日のテーマ:

「群の表現」の定義、正則表現環 R と有限群 G が与えられているとき、群環 R[G] が定義される

ことを前回示した。

実は、 G は R[G] 自体の上に表現できる。このことを、とくに R が体 K のときに詳しく見てみることにする。

まず、群の表現の定義からしておこう。一般に、可換体 K 上の一般線型群 GL_{n}(K) とは、 R の元を成分に持つような行列で、その行列式が可逆であるようなものを全部集めた物である。つまり、

GL_{n}(K) = \{A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … \\ … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix}); a_{ij} ∈ K, det(A) ≠ 0\}

定義 3.1. 可換体 K 上の G の n-次元表現とは、 G から GL_{n}(K) への群準同型のことをいう。

K 上の G の n-次元表現 π が決まると、 G の元 g の K^{n} の元 v への「作用」が

g.v = π(g)v

によって定まる。この「作用」は次の性質を満たす。 (1) g.(v +w) = g.v +g.w, g.(cv) = c(g.v) (g ∈ G, v, w ∈ K^{n}, c ∈ K)

(2) (gh).(v) = g.(h.v) (g, h ∈ G, v ∈ K^{n})

逆に、このような「作用」があれば、上の定義の意味での表現を定義することができる。行列を書くよりもその方が簡明であることが多いので、以下では多くの場合作用でもって表現を定義する。補題 3.1. 有限群 G と体 K が与えられているとする。 K[G] 上の G の表現 λ が

λ(g).h = gh

を K-線型に拡張したもの、すなわち、

λ(g).(∑_{h} c_{h}h) = ∑_{h} c_{h}gh

により定まる。定義 3.2. 上の補題で決まる表現 λ を G の正則表現と呼ぶ。

厳密にいえば、 G の元にどのように順番を付けるかによって G の各元を表す行列は違ってくる。このことについてはもっと後で詳しく調べるが、さしあたっては、 G の元の順番は適当に付けて、それを明示した上で行列で表現することにする。問題 3.1. 4 つの元の偶置換全体のなす群 𝔄_{4} の正則表現で、 (1 2 3) および (1 2)(3 4) に対応する行列を書き下しなさい。 (𝔄_{4} の元の順番を明示しておくこと。 ) 問題 3.2. 位数 2n の二面体群

𝔻_{2n} = ⟨a, b; a^{n} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1}⟩

の正則表現で、 n = 2, 3 の場合 (できれば、もっと一般の場合も) a, b に対応する行列はどのようになるか答えなさい。 (二面体群については、すでに二回生段階で習っているはずなので、本問では詳しくは述べない。 )