代数学II要約 No.3

今日のテーマ:

環 $R$ と有限群 $G$ が与えられているとき、 群環 $R[G]$ が定義されることを前回示した。

実は、$G$ は $R[G]$ 自体の上に表現できる。 このことを、とくに $R$ が体 $K$ のときに詳しく見てみることにする。

まず、群の表現の定義からしておこう。 一般に、可換体 $K$ 上の一般線型群 ${\operatorname{GL}}_n(K)$ とは、 $R$ の元を成分に持つような行列で、その行列式が可逆であるようなものを 全部集めた物である。 つまり、

$${\operatorname{GL}}_n(K)= \left\{ A=\... ..._{nn} \end{pmatrix}; a_{ij} \in K ,\quad \operatorname{det}(A)\neq 0 \right\}$$

定義 3.1   可換体 $K$ 上の $G$ の $n$-次元表現とは、 $G$ から ${\operatorname{GL}}_n(K)$ への群準同型 のことをいう。

$K$ 上の $G$ の $n$-次元表現 $\pi$ が決まると、 $G$ の元 $g$ の $K^n$ の元 $v$ への「作用」が

$$g.v=\pi(g)v$$

によって定まる。 この「作用」は次の性質を満たす。

1. $g.(v+w)=g.v+g.w$, $g.(cv)=c(g.v)$ ( $g\in G,v,w\in K^n, c\in K$)
2. $(gh).(v)=g.(h.v)$ ( $g,h\in G, v \in K^n$)

逆に、このような「作用」があれば、上の定義の意味での表現を 定義することができる。行列を書くよりもその方が簡明であることが多いので、 以下では多くの場合作用でもって表現を定義する。

補題 3.1   有限群 $G$ と体 $K$ が与えられているとする。$K[G]$ 上の $G$ の表現 $\lambda$ が

$$\lambda(g).{h}={gh}$$

を $K$-線型に拡張したもの、すなわち、

$$\lambda(g).(\sum_{h}c_h {h})=\sum_{h} c_h{gh}$$

により定まる。

定義 3.2   上の補題で決まる表現 $\lambda$ を $G$ の正則表現と呼ぶ。

厳密にいえば、$G$ の元にどのように順番を付けるかによって $G$ の各元を表す行列は違ってくる。 このことについてはもっと後で詳しく調べるが、さしあたっては、 $G$ の元の順番は適当に付けて、それを明示した上で行列で表現する ことにする。

問題 3.1   $4$ つの元の偶置換全体のなす群 $\mathfrak{A}_4$ の正則表現で、 $(1 2 3)$ および $(1 2)(3 4)$ に対応する行列を書き下しなさい。 ( $\mathfrak{A}_4$ の元の順番を明示しておくこと。)

問題 3.2   位数 $2n$ の二面体群

$$\mathbb{D}_{2n}=\langle a,b ; a^n=e, b^2=e, bab^{-1}=a^{-1}\rangle$$

の正則表現で、 $n=2,3$ の場合(できれば、もっと一般の場合も) $a,b$ に対応する行列はどのようになるか答えなさい。 (二面体群については、すでに二回生段階で習っているはずなので、本問では詳しくは 述べない。)