next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

�����II���� No.3

�����Υơ���:

\fbox{�ַ���ɽ���פ��������§ɽ��}

�� $ R$ ��ͭ�·� $ G$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� ���� $ R[G]$ ���������뤳�Ȥ����󼨤�����

�¤ϡ�$ G$ �� $ R[G]$ ���Τξ��ɽ���Ǥ��롣 ���Τ��Ȥ򡢤Ȥ��� $ R$ ���� $ K$ �ΤȤ��˾ܤ������Ƥߤ뤳�Ȥˤ��롣

�ޤ�������ɽ����������餷�Ƥ������� ���̤ˡ��Ĵ��� $ K$ ��ΰ��������� $ {\operatorname{GL}}_n(K)$ �Ȥϡ� $ R$ �θ�����ʬ�˻��Ĥ褦�ʹ���ǡ����ι��󼰤��ĵդǤ���褦�ʤ�Τ� �������᤿ʪ�Ǥ��롣 �Ĥޤꡢ

% latex2html id marker 780 $\displaystyle {\operatorname{GL}}_n(K)= \left\{ A=\... ..._{nn} \end{pmatrix}; a_{ij} \in K ,\quad \operatorname{det}(A)\neq 0 \right\} $

��� 3.1   �Ĵ��� $ K$ ��� $ G$ �� $ n$-����ɽ���Ȥϡ� $ G$ ���� $ {\operatorname{GL}}_n(K)$ �ؤη���Ʊ�� �Τ��Ȥ򤤤���

$ K$ ��� $ G$ �� $ n$-����ɽ�� $ \pi$ ����ޤ�ȡ� $ G$ �θ� $ g$ �� $ K^n$ �θ� $ v$ �ؤΡֺ��ѡפ�

$\displaystyle g.v=\pi(g)v $

�ˤ�ä���ޤ롣 ���Ρֺ��ѡפϼ�����������������
  1. $ g.(v+w)=g.v+g.w$, $ g.(cv)=c(g.v)$ ( $ g\in G,v,w\in K^n, c\in K$)
  2. $ (gh).(v)=g.(h.v)$ ( $ g,h\in G, v \in K^n$)

�դˡ����Τ褦�ʡֺ��ѡפ�����С��������ΰ�̣�Ǥ�ɽ���� ������뤳�Ȥ��Ǥ��롣�����񤯤��⤽�����������Ǥ��뤳�Ȥ�¿���Τǡ� �ʲ��Ǥ�¿���ξ����ѤǤ�ä�ɽ����������롣

���� 3.1   ͭ�·� $ G$ ���� $ K$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$ K[G]$ ��� $ G$ ��ɽ�� $ \lambda$ ��

$\displaystyle \lambda(g).{h}={gh} $

�� $ K$-�����˳�ĥ������Ρ����ʤ����

$\displaystyle \lambda(g).(\sum_{h}c_h {h})=\sum_{h} c_h{gh} $

�ˤ����ޤ롣

��� 3.2   �������Ƿ�ޤ�ɽ�� $ \lambda$ �� $ G$ ����§ɽ���ȸƤ֡�

��̩�ˤ����С�$ G$ �θ��ˤɤΤ褦�˽��֤��դ��뤫�ˤ�ä� $ G$ �γƸ���ɽ������ϰ�äƤ��롣 ���Τ��ȤˤĤ��ƤϤ�äȸ�Ǿܤ���Ĵ�٤뤬�����������äƤϡ� $ G$ �θ��ν��֤�Ŭ�����դ��ơ����������������ǹ����ɽ������ ���Ȥˤ��롣

���� 3.1   $ 4$ �Ĥθ��ζ��ִ����ΤΤʤ��� $ \mathfrak{A}_4$ ����§ɽ���ǡ� $ (1 2 3)$ ����� $ (1 2)(3 4)$ ���б���������񤭲����ʤ����� ( $ \mathfrak{A}_4$ �θ��ν��֤��������Ƥ������ȡ�)

���� 3.2   �̿� $ 2n$ �������η�

$\displaystyle \mathbb{D}_{2n}=\langle a,b ; a^n=e, b^2=e, bab^{-1}=a^{-1}\rangle $

����§ɽ���ǡ� $ n=2,3$ �ξ��(�Ǥ���С���äȰ��̤ξ���) $ a,b$ ���б��������ϤɤΤ褦�ˤʤ뤫�����ʤ����� (�����η��ˤĤ��Ƥϡ����Ǥ�������ʳ��ǽ��äƤ���Ϥ��ʤΤǡ�����ǤϾܤ����� �Ҥ٤ʤ���)


ʿ��15ǯ5��5��