代数学 II 要約 NO.4

今日のテーマ:

群の表現の例

• 置換表現 𝔖_{n} の部分群 G に対して、 G の表現が次のように定まる。

σ.e_{i} = e_{σ(i)}

この表現を G の置換表現と呼ぶ。

• 恒等表現

群 G の全ての元 g に対して、 1 を対応させると G の一つの表現ができる。これを G の恒等表現という。

• 行列式を用いて作られる表現

体 K 上の群 G の表現 ρ : G → GL_{n}(K) が与えられているときに、 det(ρ) : G → GL_{1}(K)(= K^{×}) を

det(ρ)(g) = det(ρ(g))

で定めることができる。後の二つの例のように、群 G の表現 ρ : G → GL_{n}(K) のなかには、

ρ が単射でないものもある。

定義 4.1. ρ が単射であるような表現のことを、\underline{忠実な}表現とよぶ。

置換表現など、いままでに挙げた表現は行列の成分に 0 と 1 しか出て来ないようなものばかりだったが、それだけでは面白くない。実は群の全ての表現は、正則表現をうまく「分解」することにより得られることが知られている。

「分解」などの詳細はもっと後の講義で述べることにして、今日の講義では 𝔖_{3} の置換表現から、如何に二次の表現を作るかについて述べる。

補題 4.1.

• ρ が忠実な表現であることと、 Ker(ρ) = e は同値である。

• 正則表現は必ず忠実な表現である。

問題 4.1. 講義の例にならって、 C_{3} の正則表現を分解して C_{3} の二次の表現を作りなさい。

問題 4.2. 𝔄_{4} の一次元表現のうち、恒等表現でないものを一つ見付けよ。 (ヒント:𝔄_{4} の部分群のうち、位数 4 のものは正規部分群になる。これをうまく利用する。 )

問題 4.3. 正則表現は置換表現の一種であることを例をあげて説明しなさい。