代数学II要約 No.4

今日のテーマ:

• 置換表現

  $\mathfrak{S}_n$ の部分群 $G$ に対して、 $G$ の表現が次のように定まる。

  $$\sigma.e_i=e_{\sigma(i)}$$
  この表現を $G$ の置換表現と呼ぶ。

• 恒等表現

  群 $G$ の全ての元 $g$ に対して、$1$ を対応させると $G$ の一つの 表現ができる。これを $G$ の恒等表現という。

• 行列式を用いて作られる表現

  体 $K$ 上の群 $G$ の表現 $\rho:G\to GL_n(K)$ が与えられているときに、 $\operatorname{det}(\rho): G\to {\operatorname{GL}}_1(K)(=K^{\times})$ を

  $$\operatorname{det}(\rho)(g)=\operatorname{det}(\rho(g))$$
  で定めることができる。

後の二つの例のように、 群 $G$ の表現 $\rho:G\to GL_n(K)$ のなかには、$\rho$ が 単射でないものもある。

定義 4.1   $\rho$ が単射であるような表現のことを、 忠実な表現とよぶ。

置換表現など、いままでに挙げた表現は行列の成分に 0 と $1$ しか 出て来ないようなものばかりだったが、それだけでは面白くない。 実は群の全ての表現は、正則表現をうまく「分解」することにより 得られることが知られている。

「分解」などの詳細はもっと後の講義で述べることにして、 今日の講義では $\frak S_3$ の置換表現から、如何に二次の表現を 作るかについて述べる。

補題 4.1  

• $\rho$ が忠実な表現であることと、 $\operatorname{Ker}(\rho)=e$ は同値である。
• 正則表現は必ず忠実な表現である。

問題 4.1   講義の例にならって、$C_3$ の正則表現を分解して $C_3$ の二次の表現を 作りなさい。

問題 4.2   $\frak A_4$ の一次元表現のうち、恒等表現でないものを 一つ見付けよ。 (ヒント:$\frak A_4$ の部分群のうち、位数 $4$ のものは正規部分群になる。 これをうまく利用する。)

問題 4.3   正則表現は置換表現の一種であることを例をあげて説明しなさい。