代数学II要約 No.6

今日のテーマ:

以下、とくに断らない限り、群といえば有限群、ベクトル空間や表現といえば 有限次元のものをさすことにする。 前回も少し述べたように、次のものは実質的に同じものになる。

• $G$ の表現 $G\to {\operatorname{GL}}(V)$
• 体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ で、その上に $G$ の作用が定まったもの ($K$ 上の $G$-加群)
• 環 $K[G]$ 上の加群

これらのどの言葉を選ぶかによって、以下の説明の言葉遣いも変わってくる のだが、さしあたっては 《$G$-加群》という言葉遣いを主に使うことにする。 (この講義のもう少し後では環論的な立場を重視するために、$K[G]$-加群 の言葉を使うことになる。)

定義 6.1   群 $G$ と、体 $K$ 上の $G$-加群 $V$ が与えられているとする。 $V$ の $K$-部分ベクトル空間 $W$ が、$G$-の作用で閉じている、すなわち、

$$g.w\in W \qquad (\forall g\in G, \forall w \in W$$

が成り立つとき、$W$ はそれ自身 $G$-加群になる。このような $W$ のことを $V$ の $G$-部分加群とよぶ。

補題 6.1   体 $K$ 上の $G$-加群 $V$ と、その部分加群 $W$ とが与えられているとき、 剰余ベクトル空間 $V/W$ も 自然に $G$-加群の構造をもつ。 ($V/W$ のことを $V$ の $W$ による剰余 $G$-加群とよぶ。)

定義 6.2   体 $K$ 上の $G$-加群 $W_1,W_2$ があるとき、直和ベクトル空間 $W=W_1\oplus W_2$ には自然に $G$-加群の構造が入る。($W$ を $G$-加群 $W_1,W_2$ の直和という。)

定理 6.1 (マシュケの定理)   有限群 $G$ の元 $n$ が、体 $K$ の中で 0 と異なるとき、 $K$ 上の $G$-加群 $V$ とその $G$-部分加群 $W$ とに対して、 ある $V$ の部分加群 $W'$ が存在して、

$$V=W\oplus W'$$

がなりたつ。

マシュケの定理の証明には次の補題が鍵になる。

補題 6.2 (線型写像の「平均」)   有限群 $G$ の元 $n$ が、体 $K$ の中で 0 と異なるとする。 体 $K$ 上の $G$-加群 $V_1,V_2$ と、$K$-線型写像 $V_1\to V_2$ があるとする。このとき、

$$\overline{f}:v \mapsto \frac{1}{n}\sum_{h\in G} h. f( h^{-1}.v)$$

によって定まる $V_1$ から $V_2$ への $K$-線型写像 $\overline{f}$ は、$G$-加群としての 準同型になっている。すなわち、

$$\overline{f}(g.v)=g.(\overline{f}(v))$$

が任意の $g\in G$ に対してなりたつ。

問題 6.1   位数 $8=(2\cdot 4)$ の二面体群(正方形の合同変換群) $\mathbb{D}_8$ は

$$a=(1 2 3 4), \qquad b=(1 4)(2 3)$$

で生成される $\mathfrak{S}_4$ の部分群と同一視される。 この群 $\mathbb{D}_8$ の置換表現( $\mathbb{D}_8$ の $\{1,2,3,4\}$ への 作用から定まる4次元表現)を二つ(以上)の表現の直和に分解せよ。

問題 6.2 (お詫びと訂正:この問題は間違いでした。すみません)   写像の平均は写像の合成と可換であることを示せ。すなわち、$K$-上の $G$-加群 $V_1,V_2,V_3$ があって、 $f_1:V_1\to V_2$, $f_2:V_2\to V_3$ なる $K$-線型写像が 与えられているとき、$f_1,f_2$ に対して補題のように「平均」 $\overline{f_1}, \overline{f_2}$ を定めると、

$$\overline{f_2\circ f_1}=\overline{f_2}\circ\overline{f_1}$$

が成り立つことを示しなさい。 ただし、$G$ の位数 $n$ は $K$ で 0 ではないとする。

問題 6.3 (マシュケの定理の最初の条件はなぜ必要か)   素数 $p$ が与えられたとき、

$${\mathbb{F}}_p={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

は元の個数が $p$ の体になる。 $C_p$ の ${\mathbb{F}}_p$ 上の 2次元表現を、

$$\pi(a^k)= \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

によって定めると、 この表現は一次元部分表現をもつにもかかわらず、 いかなる一次元表現二つの直和にも書き表すことができないこと、 すなわち この表現はマシュケの定理の後半を満たさないことを示しなさい。