代数学 II 要約 NO.7

今日のテーマ:

G-準同型、シューアの補題これからは、特に断らない限りは「群 G の表現」といえば複素数体 ℂ 上のものを考えることにする。

No.6 でも少し述べたように、 G-加群の間の G-準同型は次のように定義される。定義 7.1. G-加群 V_{1}, V_{2} の間の線型写像 ϕ : V_{1} → V_{2} が G-準同型であるとは、 ϕ が G の作用を保つ、すなわち任意の g ∈ G と任意の v ∈ V_{1} とに対して、

ϕ(g.v) = g.ϕ(v)

が成り立つときに言う。 V_{1} から V_{2} への G-線型写像の全体はそれ自身線型空間になる。これを Hom_{G}(V_{1}, V_{2}) とかく。

一般に、線型写像の「平均」をとることによって G-準同型を得ることができるわけだが、そもそも G-準同型自体はそんなに多くはない。定義 7.2. G-加群 V が、非自明な G-部分加群 (0,V 以外の G-部分加群) をもたないとき、 V は既約な G-加群であるとよばれる。

マシュケの定理を用いると、次のことが分かる。補題 7.1 (マシュケの定理の系). 有限群 G の (複素数体 ℂ 上の有限次元) 表現 V は、必ず既約な G-加群の直和に分解する。定理 7.1 (シューアの補題). 既約な G-加群 V, W に対して、

(1) Hom_{G}(V, W) ≠ 0 ⇔ V と W とは G-加群として同型

(2) Hom_{G}(V, V) は体をなす。問題 7.1. G-加群 V, W とその間の G-準同型 ϕ : V → W があたえられているとする。つぎの二つのことがらは (シューアの補題の証明のときも含めて) 基本的である。

(1) Ker(ϕ) は V の G-部分加群になる。

(2) Image(ϕ) は W の G-部分加群になる。これら二つの事実を証明せよ。