代数学II要約 No.7

今日のテーマ:

これからは、特に断らない限りは「群 $G$ の表現」といえば 複素数体 ${\mathbb{C}}$ 上のものを考えることにする。

No.6 でも少し述べたように、$G$-加群の間の $G$-準同型は次のように定義される。

定義 7.1   $G$-加群 $V_1,V_2$ の間の線型写像 $\phi:V_1\to V_2$ が $G$-準同型であるとは、$\phi$ が $G$ の作用を保つ、すなわち 任意の $g\in G$ と任意の $v \in V_1$ とに対して、

$$\phi(g.v)=g.\phi(v)$$

が成り立つときに言う。 $V_1$ から $V_2$ への $G$-線型写像の全体はそれ自身線型空間になる。 これを $\operatorname{Hom}_G(V_1,V_2)$ とかく。

一般に、線型写像の「平均」をとることによって $G$-準同型を 得ることができるわけだが、そもそも $G$-準同型自体は そんなに多くはない。

定義 7.2   $G$-加群 $V$ が、非自明な $G$-部分加群(0,$V$ 以外の $G$-部分加群)をもたない とき、$V$ は既約な $G$-加群であるとよばれる。

マシュケの定理を用いると、次のことが分かる。

補題 7.1 (マシュケの定理の系)   有限群 $G$ の(複素数体 ${\mathbb{C}}$ 上の有限次元)表現 $V$ は、 必ず既約な $G$-加群の直和に分解する。

定理 7.1 (シューアの補題)   既約な $G$-加群 $V$, $W$ に対して、

1. $\operatorname{Hom}_G(V,W)\neq 0$ ${\Leftrightarrow}$ $V$ と $W$ とは $G$-加群として同型
2. $\operatorname{Hom}_G(V,V)$ は体をなす。

問題 7.1   $G$-加群 $V,W$ とその間の $G$-準同型 $\phi:V\to W$ があたえられているとする。 つぎの二つのことがらは(シューアの補題の証明のときも含めて)基本的である。

1. $\operatorname{Ker}(\phi)$ は $V$ の $G$-部分加群になる。
2. $\operatorname{Image}(\phi)$ は $W$ の $G$-部分加群になる。

これら二つの事実を証明せよ。