代数学 II 要約 NO.8

今日のテーマ:

群環の中心今回も表現は ℂ 上のものを考えることにする。 G の表現は自然に群環 ℂ[G]-加群と見ることもできた。 ℂ[G] の構造

を知ると G-加群の既約分解はかなり見通しがよくなる。定義 8.1. 環 R の元 r が中心元であるとは、 r が R のどの元とも可換であるとき、すなわち、

rx = xr (∀x ∈ R)

が成り立つときにいう。 R の中心元全体の集合を Z(R) と書き、 R の中心と呼ぶ。補題 8.1. 任意の環 R に対して、その中心 Z(R) は可換環をなす。

群環 ℂ[G] の中心を求めるために、群論の次の事実を思い起こそう。定義 8.2 (復習). 一般に、群 G の元 g_{1} と g_{2} とが (G のなかで) 共役であるとは、ある x ∈ G があって、 xg_{1}x^{−1} = g_{2} が成り立つときにいう。共役という関係は G の一つの同値関係を与えていて、その同値関係についてのそれぞれのクラスを共役類と呼ぶ。各 g ∈ G に対して、 g と共役なものの全体の集合をここでは 𝒪(g) と書く。

さらに、共役なものについての和

∑_{h∈𝒪(g)} h

のことを、 S(g) と書くことにする。 (本講義の参考書 ( 「加群十話」 ) では [g] と書いてあるが、記号 [•] は既に別の意味で用いたため、ここだけ記号を変えてある。 )

これまで、群 G の元全体での平均をよく用いてきたが、 S(g) は「部分的な平均」である。補題 8.2. ℂ[G] の中心 Z(ℂ[G]) は S(g) の一次結合の全体と一致する。

G-加群 (=ℂ[G] 加群) の分解は、まず Z(ℂ[G]) の固有分解から行うと考えるのが楽になる。これについては次回。問題 8.1. 𝔖_{4} の共役類によるクラス分けを書き、それぞれの類 𝒪(g) について S(g) をもとめなさい。問題 8.2. 𝔻_{8} の共役類によるクラス分けを書き、それぞれの類 𝒪(g) について S(g) をもとめなさい。