代数学II要約 No.8

今日のテーマ:

今回も表現は ${\mathbb{C}}$ 上のものを考えることにする。

$G$ の表現は自然に群環 ${\mathbb{C}}[G]$-加群と見ることもできた。 ${\mathbb{C}}[G]$ の構造を知ると $G$-加群の既約分解はかなり見通しがよくなる。

定義 8.1   環 $R$ の元 $r$ が中心元であるとは、$r$ が $R$ のどの元とも可換であるとき、 すなわち、

$$rx=xr \qquad (\forall x \in R)$$

が成り立つときにいう。 $R$ の中心元全体の集合を $Z(R)$ と書き、$R$ の 中心と呼ぶ。

補題 8.1   任意の環 $R$ に対して、その中心 $Z(R)$ は可換環をなす。

群環 ${\mathbb{C}}[G]$ の中心を求めるために、群論の次の事実を思い起こそう。

定義 8.2 (復習)   一般に、群 $G$ の元 $g_1$ と $g_2$ とが($G$ のなかで)共役であるとは、 ある $x\in G$ があって、 $xg_1x^{-1}=g_2$ が成り立つときにいう。 共役という関係は $G$ の一つの同値関係を与えていて、 その同値関係についてのそれぞれのクラスを共役類と呼ぶ。 各 $g\in G$ に対して、 $g$ と共役なものの全体の集合をここでは $\mathcal O(g)$ と書く。

さらに、共役なものについての和

$$\sum_{h \in \mathcal O(g)} h$$

のことを、$S(g)$ と書くことにする。(本講義の参考書(「加群十話」)では [g] と書いてあるが、記号$[\bullet]$ は既に別の意味で用いたため、 ここだけ記号を変えてある。)

これまで、群 $G$ の元全体での平均をよく用いてきたが、$S(g)$ は「部分的な 平均」である。

補題 8.2   ${\mathbb{C}}[G]$ の中心 $Z({\mathbb{C}}[G])$ は $S(g)$ の一次結合の全体と一致する。

$G$-加群(= ${\mathbb{C}}[G]$)加群の分解は、まず $Z({\mathbb{C}}[G])$ の固有分解から 行うのが楽になる。これについては次回。

問題 8.1   $\mathfrak{S}_4$ の共役類によるクラス分けを書き、 それぞれの類 $\mathcal O(g)$ について $S(g)$ を もとめなさい。

問題 8.2   $\mathbb{D}_8$ の共役類によるクラス分けを書き、 それぞれの類 $\mathcal O(g)$ について $S(g)$ を もとめなさい。