代数学 II 要約 NO.9

今日のテーマ:

群環の中心を用いて表現を分解する。今回も表現は ℂ 上のものを考えることにする。次の命題は、群の表現が中心元の固有空間を考えることによって分

解されることを示している。命題 9.1. G-加群 V が与えられているとし、 r ∈ ℂ[G] の V 上の表現行列を π_{V} (r) と書くことにする。 z ∈ Z(ℂ[G]) にたいして、 π_{V} (z) の固有値の一つ λ をとると、 π_{V} (z)−λ1_{V} の核 W は V の G-部分加群になる。とくに、 V が既約な G-加群のときには、 π_{V} (z) は必ずスカラー行列になる。例 . 𝔖_{3} の群環 ℂ[𝔖_{3}] の中心 Z(ℂ[𝔖_{3}]) は 1, S(1 2), S(1 2 3) の線型結合の全体と一致する。その環構造を調べてみよう。

S(1 2)^{2} = 3(1 + S(1 2 3))
S(1 2)S(1 2 3) = 2S(1 2)

z = S(1 2) とおくと、

z^{3} − 9z = 0

したがって、 𝔖_{3} の表現は、 z = 0, z = 3, z = −3 のそれぞれの部分に分解できる。

𝔖_{3} の置換表現は次のように分解される。

ℂ^{3} = ℂ (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) ⊕ \{(\begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix}); x + y + z = 0\}

同様に、 𝔖_{3} の正則表現も 3 つの表現 (1 次元が 2 つと 4 次元が 1 つ) の直和に分解される。 1 次元の表現は、

\frac{1}{3}(z(z + 3)) = 1 + S(1 2) + S(1 2 3) (= ∑_{g∈𝔖_{3}} g)

で生成されるものと、

z^{2} − 9 = 3(S(1 2 3) − 2)

で生成されるものである。 4 次元のものは実はまだ既約ではない。問題 9.1. ℂ[𝔖_{4}] の元 z = S(1 2) にたいして、 z^{2} を 1, S(1 2), S(1 2 3), S((1 2)(3 4)), S(1 2 3 4) の線型結合で書き表せ。問題 9.2. 4 個の元 {1, 2, 3, 4} の偶置換の全体のなす群 (4 次交代群) 𝔄_{4} について、その群環の中心 Z(ℂ[𝔄_{4}]) の構造を調べよ。