代数学II要約 No.9

今日のテーマ:

今回も表現は ${\mathbb{C}}$ 上のものを考えることにする。

次の命題は、群の表現が中心元の固有空間を考えることによって 分解されることを示している。

命題 9.1   $G$-加群 $V$ が与えられているとし、 $r\in {\mathbb{C}}[G]$ の $V$ 上の表現行列を $\pi_V(r)$ と書くことにする。 $z\in Z({\mathbb{C}}[G])$ にたいして、 $\pi_V(z)$ の固有値の一つ $\lambda$ をとると、 $\pi_V(z)-\lambda 1_V$ の核 $W$ は $V$ の $G$-部分加群になる。 とくに、$V$ が既約な $G$-加群のときには、$\pi_V(z)$ は必ずスカラー行列 になる。

例   $\mathfrak{S}_3$ の群環 ${\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_3]$ の中心 $Z({\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_3])$ は $1, S(1\ 2), S(1\ 2\ 3)$ の 線型結合の全体と一致する。その環構造を調べてみよう。

$$S(1\ 2)^2=3(1+S(1\ 2\ 3))$$

$$S(1\ 2)S(1\ 2\ 3)=2S(1\ 2)$$

$z=S(1\ 2)$ とおくと、

$$z^3-9z=0$$

したがって、 $\mathfrak{S}_3$ の表現は、$z=0$, $z=3$, $z=-3$ のそれぞれの部分に 分解できる。

$\mathfrak{S}_3$ の置換表現は次のように分解される。

$${\mathbb{C}}^3={\mathbb{C}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pm... ...}\oplus \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}; x+y+z=0 \right \}$$

同様に、 $\mathfrak{S}_3$ の正則表現も3つの表現(1次元が2つと4次元が1つ)の 直和に分解される。 1次元の表現は、

$$\frac{1}{3}(z(z+3))=1+S(1\ 2) +S(1\ 2\ 3) \quad (=\sum_{g \in \mathfrak{S}_3} g)$$

で生成されるものと、

$$z^2-9=3(S(1\ 2\ 3)-2)$$

で生成されるものである。 4次元のものは実はまだ既約ではない。

問題 9.1   ${\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ の元 $z=S(1\ 2)$ にたいして、$z^2$ を $1, S(1\ 2), S(1\ 2\ 3)$, $S((1\ 2)(3\ 4))$, $S(1\ 2\ 3\ 4)$ の線型結合で 書き表せ。

問題 9.2   4個の元 $\{1,2,3,4\}$ の偶置換の全体のなす群(4次交代群) $\mathfrak{A}_4$ に ついて、その群環の中心 $Z({\mathbb{C}}[\mathfrak{A}_4])$ の構造を 調べよ。