代数学 II 要約 NO.10

今日のテーマ: 群環 ℂ[G] をその中心元で固有分解する。

補題 10.1. Z(ℂ[G]) には非自明な (0 以外の) 巾零元は存在しない。とくに、 Z(ℂ[G]) の任意の元 z に対して、 z の満たす ℂ 上の多項式で次数が最小のもの (最小多項式) は重根をもたない。

定義 10.1. 環 R の部分集合 J が R の左イデアルであるとは、 J が次の条件を満足するときにいう。

(1) 0 ∈ J

(2) x, y ∈ J ⟹ x + y, x − y ∈ J

(3) r ∈ R, x ∈ J ⟹ rx ∈ J

三番目の条件を、次の条件に置き換えて右イデアルを定義することができる。 (3′) r ∈ R, x ∈ J ⟹ xr ∈ J

R の (両側) イデアルとは、 R の左イデアルかつ右イデアルになっているようなもの、言い換えれば上の (1),(2),(3) と (3′) を同時にみたすようなもののことである。

補題 10.2. Z(ℂ[G]) の元 z にたいし、 ℂ[G] は z の固有空間の直和に (加群として) 分解し、さらにそれぞれの固有空間は ℂ[G] の (両側) イデアルになる。もっと一般に、 Z(ℂ[G]) の有限個の元 z_{1}, z_{2}, …, z_{l} にたいし、 ℂ[G] は z_{1}, z_{2}, …, z_{l} の同時固有空間 (それぞれの固有空間の共通部分) の直和に (加群として) 同型になり、それぞれの同時固有空間は ℂ[G] のイデアルになる。

命題 10.1. Z(ℂ[G]) は次のような環 R_{i} の有限個の (環としての) 直積に分解する。

(1) Z(R_{i}) = ℂ

(2) R_{i}-加群で、 ℂ 上有限次元のものは必ず完全可約である。

ついでに、次回以降に重要になる M_{n}(ℂ) の左イデアルの例を挙げておこう。例 . 一般に、環 R の元 x にたいして、 Rx は R の左イデアルになる。とくに、 M_{n}(ℂ) の元 x_{l} = E_{11} + E_{22} + ⋯ + E_{ll} (E_{ij} は基本行列) にたいして、 J_{l} = M_{n}(ℂ)x_{l} は M_{n}(ℂ) のイデアルである。

J_{1} ⊂ J_{2} ⊂ J_{3} ⊂ J_{4} ⊂ ⋯ ⊂ J_{n} = M_{n}(ℂ).

問題 10.1. 位数 8 の二面体群 𝔻_{8} の群環 ℂ[𝔻_{8}] を二つ以上の環の直積に分解せよ。問題 10.2. ℂ[𝔖_{4}] の元 z = S(1 2) にたいして、 z の最小多項式を求めよ。