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代数学II要約 No.10

今日のテーマ: \fbox{
群環 ${\mathbb {C}}[G]$ をその中心元で固有分解する。
}

補題 10.1   $ Z({\mathbb{C}}[G])$ には非自明な(0 以外の)巾零元は存在しない。 とくに、 $ Z({\mathbb{C}}[G])$ の任意の元 $ z$ に対して、$ z$ の満たす $ {\mathbb{C}}$ 上の 多項式で次数が最小のもの(最小多項式) は重根をもたない。

定義 10.1   環 $ R$ の部分集合 $ J$$ R$ の左イデアルであるとは、 $ J$ が次の条件を満足するときにいう。
  1. $ 0 \in J$
  2. $ x,y\in J  \implies  x+ y, x-y \in J$
  3. $ r\in R$, $ x\in J$ $ \implies $ $ rx\in J$
三番目の条件を、次の条件に置き換えて右イデアルを定義することができる。

$ (3')$ $ r\in R$, $ x\in J$ $ \implies $ $ xr\in J$

$ R$ の(両側)イデアルとは、$ R$ の左イデアルかつ右イデアルになっているような もの、言い換えれば上の(1),(2),(3)と$ (3')$を同時にみたすようなもののことである。

補題 10.2   $ Z({\mathbb{C}}[G])$ の元 $ z$ にたいし、 $ {\mathbb{C}}[G]$$ z$ の固有空間の直和に(加群として) 分解し、さらにそれぞれの固有空間は $ {\mathbb{C}}[G]$ の(両側)イデアルになる。 もっと一般に、 $ Z({\mathbb{C}}[G])$ の有限個の元 $ z_1,z_2,\dots,z_l$ にたいし、 $ {\mathbb{C}}[G]$ $ z_1,z_2,\dots,z_l$ の同時固有空間(それぞれの固有空間の共通部分) の直和に(加群として)同型になり、それぞれの同時固有空間は $ {\mathbb{C}}[G]$ の イデアルになる。

命題 10.1   $ Z({\mathbb{C}}[G])$ は次のような環 $ R_i$ の有限個の(環としての)直積に分解する。
  1. $ Z(R_i)={\mathbb{C}}$
  2. $ R_i$-加群で、 $ {\mathbb{C}}$ 上有限次元のものは必ず完全可約である。

ついでに、次回以降に重要になる $ M_n({\mathbb{C}})$ の左イデアルの例を挙げておこう。

  一般に、環 $ R$ の元 $ x$ にたいして、 $ Rx$$ R$ の左イデアルになる。 とくに、 $ M_n({\mathbb{C}})$ の元 $ x_l=E_{11}+E_{22}+\dots+ E_{ll}$ ($ E_{ij}$ は 基本行列) にたいして、 $ J_l=M_n({\mathbb{C}}) x_l$ $ M_n({\mathbb{C}})$ のイデアルである。

$\displaystyle J_1 \subset J_2 \subset J_3\subset J_4\subset \dots \subset J_n=M_n({\mathbb{C}}).
$

問題 10.1   位数 $ 8$ の二面体群 $ \mathbb{D}_8$ の群環 $ {\mathbb{C}}[\mathbb{D}_8]$ を 二つ以上の環の直積に分解せよ。

問題 10.2   $ {\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ の元 $ z=S(1 2)$ にたいして、$ z$ の 最小多項式を求めよ。



2003/7/2