代数学 II 要約 NO.12

今日のテーマ: 対称群の表現とヤング図形

今回は、気分を変えて、対称群の既約表現を実際に与える方法について (証明は抜きで) 述べよう。

ヤング図形とは、正方形の箱を、縦横に次のような恰好で並べたものである。

,  ,  , 等々

つまり、横に並んだ正方形の数が単調非増加になるようにならべるわけだ。

正方形の数が n 個のヤング図形のことを、 n 次のヤング図形という。実は n 次の対称群 𝔖_{n} の既約表現は、 n-次のヤング図形の分だけあって、実際にそこから構成できることが知られている。つまり、 𝔖_{3} の既約表現は

, ,

に対応する 3 つがあり、 𝔖_{4} の既約表現は

,  ,  ,  ,

の 4 つがあると言うことになる。

n 次のヤング図形 λ をひとつとってそのおのおのの正方形に 1 から n までの数字をだぶらないように書き入れたものを (λ を台とする) ヤングの盤という。ヤングの盤には、次のような調子で多項式を対応させることができる。

Δ( 1 2 3 4 5 6 ) = Δ_{146}Δ_{25}Δ_{3}

ただし、右辺に出てくるのは「差積」であって、

Δ_{ijk} = (X_{i} − X_{j})(X_{i} − X_{k})(X_{j} − X_{k}),
Δ_{ij} = (X_{i} − X_{j}),
Δ_{i} = 1

などという具合にあたえられる。

𝔖_{n} の元は n-変数の多項式の全体に文字の置き換えで作用する。 Δ_{T} の形の多項式に 𝔖_{n} の元を作用すると、 T と同じ台をもって文字をつけ替えたような別のヤングの盤 T′ があって、

σ(Δ_{T}) = Δ_{T′}

となることはすぐに確かめられるから、一つのヤング図形 λ を固定する毎に、そのような λ を台に持つような盤全体に関する線型結合

∑_{T の台は λ}a_{T} Δ_{T} (a_{T} ∈ ℂ)

の全体は 𝔖_{n} の表現になる。これを (本講義の参考書にあわせて) π_{λ} (表現空間の方は V_{λ}) と書くことにしよう。

実は、 Δ_{T} どうしは独立ではなく、関係式が幾つかあることに注意せねばならない。 𝔖_{2} の既約表現は次の空間で与えられる。

V = ℂ(X_{1} − X_{2}),  V  = ℂ

同様に、 𝔖_{3} の既約表現は次の空間で与えられる。

V = ℂ((X_{1} − X_{2})(X_{1} − X_{3})(X_{2} − X_{3})),  V  = ℂ

V = ℂ(X_{1} − X_{2}) + ℂ(X_{1} − X_{3})

(X_{2} − X_{3} = −(X_{1} − X_{2}) + (X_{1} − X_{3}) に注意)

問題 12.1. 3 次のヤング図形 λ(3 つある) のそれぞれについて、 ℂ[𝔖_{3}] の元 z = S(1 2)(= (1 2) + (1 3) + (2 3)) の (π_{λ}, V_{λ}) 上の作用は定数倍で与えられる。それらの値を決定しなさい。 (結果を No.9 で述べたことと比べよ。 )

問題 12.2. 4 次のヤング図形 λ (5 つある) のそれぞれについて、 ℂ[𝔖_{4}] の元 z = S(1 2) が (π_{λ}, V_{λ}) 上どのような作用を行うか記述しなさい。