代数学II要約 No.12

今日のテーマ:

今回は、気分を変えて、対称群の既約表現を実際に与える方法について(証明は抜きで)述べよう。

ヤング図形とは、正方形の箱を、縦横に次のような恰好で 並べたものである。

$$\yng(2,1),\quad \yng (3,2,2),\quad \yng (6,3,1),$$    等々

つまり、横に並んだ正方形の数が単調非増加になるようにならべるわけだ。

正方形の数が$n$ 個のヤング図形のことを、$n$ 次のヤング図形という。 実は $n$ 次の対称群 $\mathfrak{S}_n$ の既約表現は、 $n$-次のヤング図形の分だけあって、 実際にそこから構成できることが知られている。 つまり、 $\mathfrak{S}_3$ の既約表現は

$$\yng(1,1,1), \quad \yng(2,1),\quad \yng(3)$$

に対応する3つがあり、 $\mathfrak{S}_4$ の既約表現は

$$\yng(1,1,1,1), \quad \yng(2,1,1),\quad \yng(2,2), \quad \yng(3,1),\quad \yng(4)$$

の4つがあると言うことになる。

$n$ 次のヤング図形 $\lambda$ をひとつとって そのおのおのの正方形に $1$ から $n$ までの数字を だぶらないように書き入れたものを($\lambda$ を台とする)ヤングの盤という。 ヤングの盤には、次のような調子で多項式を対応させることができる。

$$\Delta (\young(123,45,6))=\Delta_{146}\Delta_{25}\Delta_{3}$$

ただし、右辺に出てくるのは「差積」であって、

$$\Delta_{ijk}=(X_i-X_j)(X_i-X_k)(X_j-X_k),$$

$$\Delta_{ij}=(X_i-X_j),$$

$$\Delta_{i}=1$$

などという具合にあたえられる。

$\mathfrak{S}_n$ の元は $n$-変数の多項式の全体に文字の置き換えで作用する。 $\Delta_T$ の形の多項式に $\mathfrak{S}_n$ の元を作用すると、 $T$ と同じ台を もって文字をつけ替えたような別のヤングの盤 $T'$ があって、

$$\sigma(\Delta_T)=\Delta_{T'}$$

となることはすぐに確かめられるから、一つのヤング図形 $\lambda$ を固定する毎に、 そのような $\lambda$ を台に持つような盤全体に関する線型結合

$$\sum_{\text{$T$ の 台は $\lambda$}} a_T \Delta_T \qquad (a_T\in {\mathbb{C}})$$

の全体は $\mathfrak{S}_n$ の表現になる。これを(本講義の参考書にあわせて) $\pi_\lambda$ (表現空間の方は $V_\lambda$) と書くことにしよう。

実は、$\Delta_T$ どうしは独立ではなく、関係式が幾つかあることに 注意せねばならない。 $\mathfrak{S}_2$ の既約表現は次の空間で与えられる。

$$V_{\yng(1,1)}={\mathbb{C}}(X_1-X_2),\qquad V_{\yng(2)}={\mathbb{C}}$$

同様に、 $\mathfrak{S}_3$ の既約表現は次の空間で与えられる。

$$V_{\yng(1,1,1)}={\mathbb{C}}((X_1-X_2)(X_1-X_3)(X_2-X_3)) ,\qquad V_{\yng(3)}={\mathbb{C}}$$

$$V_{\yng(2,1)}={\mathbb{C}}(X_1-X_2)+{\mathbb{C}}(X_1-X_3)$$

( $X_2-X_3=-(X_1-X_2)+(X_1-X_3)$に注意)

問題 12.1   3次のヤング図形 $\lambda$(3つある)のそれぞれについて、 ${\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_3]$ の元 $z=S(1 2)(=(1 2)+(1 3)+(2 3))$ の $(\pi_\lambda, V_\lambda)$ 上の作用は定数倍で与えられる。 それらの値を決定しなさい。(結果をNo.9で述べたことと比べよ。)

問題 12.2   $4$ 次のヤング図形 $\lambda$ (5つある)のそれぞれについて、 ${\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ の元 $z=S(1 2)$ が $(\pi_\lambda, V_\lambda)$ 上 どのような作用を行うか記述しなさい。