代数学 II 要約 NO.13

今日のテーマ: 復習と整理

(群 G の表現)=(群環 ℂ[G] の表現)

中心 Z(ℂ[G]) は S(g) で生成される

ℂ[G] の中心元はすべてある多項式をみたす。

表現は中心元の固有値で分解できる。

既約表現上では、中心元の作用は全て定数倍であらわされる。 𝔖_{n} の表現はヤング図形から作ることができる。次のことは、講義では扱わなかったが、覚えておくと便利だろう。 n 次のヤング図形 λ に対する 𝔖_{n} の表現 π_{λ} の表現空間 V_{λ} の基底

として、

{Δ_{T}; T は λ を台とする標準盤}

をとることができる。ここで、標準盤とは、各行ごとに、番号が右の方に向かって増加し、各列ごとに、番号が下の方に向かって増加しているような盤のことをいう。

試験問題予想例 (レポートではない。 )

完全に同じ問題は出ない。どこかしら数字や、群などがかわって出題されるだろう。

問題 13.1. 𝔻_{8} = ⟨a, b; a^{4} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1}⟩ は a, b をそれぞれ (1 2 3 4), (1 2)(3 4) と同一視することにより 𝔖_{4} の部分群とみることができる。そこで、 ℂ[𝔻_{8}] の中心の元 c = a^{2} と、 4 次のヤング図形

λ = に対して、 c の π_{λ} 上での最小多項式を求めなさい。

問題 13.2. ある表現 (ベクトル空間) V 上に元 z が (線型に) 作用していて、 z は z(z − 1)(z − 2) = 0 を満たしているとする。このとき、 V を z の固有空間 (3 つある) をそれぞれ f(z)V, g(z)V, h(z)V の形であらわせ。 (具体的に f, g, h を求めよ。 )

問題 13.3. (類題) 環 R の元 x の最小多項式が T (T − 1)(T − 2) であるとき、 x を用いて R の巾等元を 3 つ作れ。

問題 13.4. 次のような条件を同時に満足する正方行列 A の例を挙げよ。 (サイズは問わない)

(1) A^{2}(A − E)(A − 2E) = 0

(2) A は非自明な 3 次の関係式を満足しない。

問題 13.5. 𝔻_{2n} の群環 ℂ[𝔻_{2n}] の中心の (ℂ 上の) 次元を求めよ。